Question

10．2013年9月23日强台风“天兔”登录深圳，伴随着就是狂风暴雨．梧桐山山坡上有一棵与水平面垂直的大树，台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）．已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干的倾斜角为∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=3m．
（1）求∠DAC的度数；
（2）求这棵大树折断前的高度．（结果保留根号）

Answer 1

分析 （1）延长BA交EF于点G，利用三角形外角性质即可求出所求角的度数；
（2）过A作CD的垂线，垂足为H，在直角三角形ADH中，求出∠DAH=30°，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出DH与AH的长，确定出三角形ACH为等腰直角三角形，求出CH，AH的长，由AC+CH+HD求出大树高即可．

解答 解：（1）延长BA交EF于一点G，如图所示，

则∠DAC=180°-∠BAC-∠GAE=180°-38°-（90°-23°）=75°；
（2）过点A作CD的垂线，设垂足为H，
在Rt△ADH中，∠ADC=60°，∠AHD=90°，
∴∠DAH=30°，
∵AD=3，
∴DH=$\frac{3}{2}$，AH=$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，
在Rt△ACH中，∠CAH=∠CAD-∠DAH=75°-30°=45°，
∴∠C=45°，
∴CH=AH=$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，AC=$\frac{{3\sqrt{6}}}{2}$，
则树高$\frac{{3\sqrt{6}}}{2}$+$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$+$\frac{3}{2}$（米）．

点评 此题属于解直角三角形的应用-坡度坡角问题，涉及的知识有：勾股定理，含30度直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，以及外角性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．