Question

已知抛物线y=-x²-2mx-m²+2m+1的顶点坐标为（-1，3），
（1）求m的值；
（2）抛物线与直线y=2x的两个交点分别为A、B（A在右侧），点P是抛物线上AB之间的点，点Q是直线y=2x上AB之间的点，且PQ∥y轴．求PQ长的最大值；
（3）在（2）的条件下，求当△OPQ为直角三角形时Q点的坐标．

Answer 1

分析：（1）将抛物线的解析式化为顶点坐标式，然后用m表示出抛物线的顶点坐标，即可求得m的值；
（2）设出点P的横坐标，根据抛物线和直线y=2x的解析式可表示出P、Q的纵坐标，进而可得到关于PQ的长和P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得PQ的最大值；
（3）显然∠PQO＜90°，那么可分两种情况考虑：
①∠OPQ=90°，此时P为抛物线与x轴的交点，根据抛物线的解析式，即可求得点P坐标，将点P的横坐标代入直线y=2x中，即可求得点Q的坐标；
②∠POQ=90°，若设PQ与x轴的交点为D，在Rt△OPQ中，OD⊥PQ，根据射影定理得OD²=DP•DQ，由此可得到关于P点横坐标（即Q点横坐标）的方程，从而求得Q点横坐标，将其代入直线y=2x中，即可求得Q点坐标．

解答：解：（1）由于抛物线y=-x²-2mx-m²+2m+1=-（x+m）²+2m+1，
即顶点坐标（-m，2m+1），
而抛物线的顶点坐标为（-1，3）；
故m=1；（2分）

（2）由（1）可知抛物线的解析式为y=-（x+1）²+3，
即y=-x²-2x+2；
设P（x，-x²-2x+2），
因为PQ∥y轴，
所以设Q（x，2x），
所以：PQ=（-x²-2x+2）-2x=-x²-4x+2=-（x+2）²+6；（2分）
当x=-2时，PQ最大值=6；（2分）

（3）因为∠PQO不可能为直角，
所以分两种情形讨论：
①当∠QPO为直角时，P为抛物线与x轴的左侧的交点；
抛物线：y=-x²-2x+2，令y=0-x²-2x+2=0，
解得：x₁=-1+

3

，x₂=-1-

3

；
所以P（-1-

3

，0）；（1分）
当x=-1-

3

时，y=2x=2（-1-

3

）=-2-2

3

，
所以Q（-1-

3

，-2-2

3

）；（2分）
②当∠POQ为直角时，设PQ与x轴交于D点；
根据题意：△OPD∽△OQD，
得：OD²=PD•QD；
即x²=（-x²-2x+2）（-2x），
解得x=

-3± 41

4

，
取x＜0，则x=

-3- 41

4

；
当x=

-3- 41

4

时，y=2x=

-3- 41

2

，
所以Q（

-3- 41

4

，

-3- 41

2

）；（2分）
所以，符合条件的Q坐标为（-1-

3

，-2-2

3

）或（

-3- 41

4

，

-3- 41

2

）．（1分）

点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用、直角三角形的判定等知识；（3）题中，由于直角三角形的直角顶点不确定，一定要分类讨论，以免漏解．