Question

如图，已知抛物线y=﹣x²+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．
（1）求抛物线的解析式及它的对称轴；
（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）y=-x²+x+4，x=3；（2）C（0，4）；y=?x+4．（3）Q₁（3，0），Q₂（3，4+），Q₃（3，4-）．

试题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，利用配方法或利用公式x=?求出对称轴方程；
（2）在抛物线解析式中，令x=0，可求出点C坐标；令y=0，可求出点B坐标．再利用待定系数法求出直线BD的解析式；
（3）本问为存在型问题．若△ACQ为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解．
（1）∵抛物线y=-x²+bx+4的图象经过点A（-2，0），
∴-×（-2）2+b×（-2）+4=0，
解得：b=，
∴抛物线解析式为 y=-x²+x+4，
又∵y=-x²+x+4=-（x-3）²+，
∴对称轴方程为：x=3．
（2）在y=-x²+x+4中，令x=0，得y=4，
∴C（0，4）；
令y=0，即-x²+x+4=0，整理得x2-6x-16=0，解得：x=8或x=-2，
∴A（-2，0），B（8，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（8，0），C（0，4）的坐标分别代入解析式，得：
，
解得，
∴直线BC的解析式为：y=?x+4．
∵抛物线的对称轴方程为：x=3，
可设点Q（3，t），则可求得：
AC=，
AQ=，
CQ=．
i）当AQ=CQ时，有=，
25+t²=t²-8t+16+9，
解得t=0，
∴Q₁（3，0）；
ii）当AC=AQ时，有
t²=-5，此方程无实数根，
∴此时△ACQ不能构成等腰三角形；
iii）当AC=CQ时，有，
整理得：t²-8t+5=0，
解得：t=4±，
∴点Q坐标为：Q₂（3，4+），Q₃（3，4-）．
综上所述，存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：Q₁（3，0），Q₂（3，4+），Q₃（3，4-）．