Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ABC＞60°，∠BAC＜60°，以AB为边作等边△ABD（点C、D在边AB的同侧），连接CD．

（1）若∠ABC90°，∠BAC30°，求∠BDC的度数；

（2）当∠BAC2∠BDC时，请判断△ABC的形状并说明理由；

（3）当∠BCD等于多少度时，∠BAC2∠BDC恒成立．

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）（3）见解析

【解析】试题分析：（1）证明AC垂直平分BD，从而可得CD=BC，继而得∠BDC=30°；

（2）设∠BDC=x，则∠BAC=2x，证明∠ACD=∠ADC，从而得AC=AD，再根据AB=AD可得AB=AC，从而得△ABC是等腰三角形；

（3）如图， 作等边△BCE，连接DE，证明△BCD≌△ECD后可得到∠BDE=2∠BDC，再通过证明△BDE≌△BAC得到∠BAC=∠BDE，从而得∠BAC=2∠BDC.

试题解析：（1）∵△ABD为等边三角形，

∴∠BAD=∠ABD=60°，AB=AD，

又∵∠BAC=30°，

∴AC平分∠BAD，

∴AC垂直平分BD，

∴CD=BC，

∴∠BDC=∠DBC=∠ABC-∠ABD=90°-60°=30°；

（2）△ABC是等腰三角形，

理由：设∠BDC=x，则∠BAC=2x，

有∠CAD=60°-2x，∠ADC=60°+x，

∴∠ACD=180°-∠CAD-∠ADC=60°+x，

∴∠ACD=∠ADC，

∴AC=AD，

又∵AB=AD，

∴AB=AC，

即△ABC是等腰三角形；

（3）当∠BCD=150°时，∠BAC=2∠BDC恒成立，

如图， 作等边△BCE，连接DE，

∴BC=EC，∠BCE=60°.

∵∠BCD=150°，

∴∠ECD=360°-∠BCD-∠BCE=150°，

∴∠DCE=∠DCB.

又∵CD=CD，

∴△BCD≌△ECD.

∴∠BDC=∠EDC，

即∠BDE=2∠BDC.

又∵△ABD为等边三角形，

∴AB=BD，∠ABD=∠CBE=60°，

∴∠ABC=∠DBE=60°+∠DBC.

又∵BC=BE，

∴△BDE≌△BAC.

∴∠BAC=∠BDE，

∴∠BAC=2∠BDC.