Question

11．已知抛物线经过A（-3，0），B（1，0），C（2，$\frac{5}{2}$）三点，其对称轴交x轴于点H，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点C，与抛物线交于另一点D（点D在点C的左边），与抛物线的对称轴交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当S_△EOC=S_△EAB时，求一次函数的解析式；
（3）如图2，设∠CEH=α，∠EAH=β，当α＞β时，直接写出k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把A（-3，0），B（1，0），C（2，$\frac{5}{2}$）代入y=ax²+bx+c，解方程组即可；
（2）把C点坐标代入直线CD，由S_△EOC=S_△EAB得关于k、b的方程组，解方程组即可；
（3）设CD的解析式为y=kx+$\frac{5}{2}$-2k，当y=0和x=-1时，求出FH、EH、AH，根据tanα＞tanβ列不等式可求出k的取值范围．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
∵抛物线经过A（-3，0），B（1，0），C（2，$\frac{5}{2}$）三点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=0}\\{a+b+c=0}\\{4a+2b+c=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=1}\\{c=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$；
（2）如图1所示，
将C点坐标代入直线CD，得
2k+b=$\frac{5}{2}$   ①．
当x=0时，y=b，即F（0，b），
当x=-1时，y=-k+b，即E（-1，-k+b）．
由S_△EOC=S_△EAB时，得$\frac{1}{2}$×[2-（-1）]|b|=$\frac{1}{2}$[1-（-3）]|（-k+b）|②．
联立方程①②，得
$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=\frac{5}{2}①}\\{\frac{3}{2}|b|=2|（-k+b）|②}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{5}{12}}\\{b=\frac{5}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{35}{36}}\\{b=\frac{5}{9}}\end{array}\right.$
故当S_△EOC=S_△EAB时，一次函数的解析式为y=$\frac{5}{12}$x+$\frac{5}{3}$或y=$\frac{35}{36}x+\frac{5}{9}$．
（3）如图2所示，
①当E点在x轴上方时，如图2所示，
当α=β时，∵∠EHA=90°，∴∠AEC=90°，
∴k_AE=-$\frac{1}{k}$，
∵A（-3，0），E（-1，-k+b），
∴$\frac{-k+b}{2}$=-$\frac{1}{k}$，即k²-bk-2=0，
联立方程$\left\{\begin{array}{l}{{k}^{2}-bk-2=0}\\{2k+b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$
解得k=$-\frac{1}{2}$（k=$\frac{4}{3}$舍去），
随着E点向下移动，∠CEH的度数越来越大，∠EAH的读数越来越小，当E点和H点重合时（如图3所示），α和β均等于0，此时联立方程$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=\frac{5}{2}}\\{-k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{5}{6}}\\{b=\frac{5}{6}}\end{array}\right.$
因此当$-\frac{1}{2}$＜k＜$\frac{5}{6}$且k≠0时，α＞β；
②当E点在x轴下方时，如图4所示，
当α=β时，∵∠EHA=90°，∴∠AEC=90°，
根据①可得此时k=$\frac{4}{3}$（k=$-\frac{1}{2}$舍去），
随着E点向下移动，∠CEH的度数越来越小，∠EAH的读数越来越大，
因此当$\frac{5}{6}$＜k＜$\frac{4}{3}$时，α＞β．
综上所述可得，当α＞β时，可得取值范围为-$\frac{1}{2}$＜k＜$\frac{5}{6}$（k≠0）或$\frac{5}{6}$＜k＜$\frac{4}{3}$时．

点评 本题考查的是一次函数、二次函数和锐角三角函数的综合应用，掌握待定系数法求函数解析式和锐角三角函数的概念是解题的关键．