Question

试求实数k（ k≠±1），使得方程（k²-1）x²-6（3k-1）x+72=0的两根都是正整数．

Answer 1

考点：根的判别式

专题：

分析：根据k≠±1，得出方程为一元二次方程，根据方程有实数根，得出判别式△≥0，再利用方程两根分别为x₁，x₂，由韦达定理，得出k的取值范围，即可得出答案．

解答：解：∵k≠±1，
∴k²-1≠0，那么原方程为一元二次方程，
∵关于x的方程（k²-1）x²-6（3k-1）x+72=0的解都是正整数，
∴方程有实数根，判别式△≥0，
[-6（3k-1）]²-4×（k²-1）×72≥0，
整理，得：k²-6k+9≥0，
（k-3）²≥0．
设方程两根分别为x₁，x₂得：
x₁+x₂=

6(3k-1)

k2-1

，
解得k＞1或-1＜k＜

1

3

，
x₁x₂=

72

k2-1

＞0，
k＞1或k＜-1．
综上，得k＞1，
∵为整数，
∴k²-1可以为2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，
∵

6(3k-1)

k2-1

为整数，
∴k=2，3，

7

5

．
综上，可知实数k的值2，3，

7

5

．

点评：此题主要考查了一元二次方程的整数根与有理根，根据题意利用根与系数的关系以及根的判别式得出是解决问题的关键．