【题目】如图,O是正方形ABCD边上一点,以O为圆心,OB为半径画圆与AD交于点E,过点E作⊙O的切线交CD于F,将△DEF沿EF对折,点D的对称点D'恰好落在⊙O上.若AB=6,则OB的长为_____.
【答案】
【解析】
连接OE、OD′,作OH⊥ED′于H,通过证得AEO≌△HEO(AAS),AE=EH=ED=2,设OB=OE=x.则AO=6﹣x,根据勾股定理得x2=22+(6﹣x)2,解方程即可求得结论.
解:连接OE、OD′,作OH⊥ED′于H,
∴EH=D′H=ED′
∵ED′=ED,
∴EH=ED,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠A=90°,AB=AD=6,
∵EF是⊙O的切线,
∴OE⊥EF,
∴∠OEH+∠D′EF=90°,∠AEO+∠DEF=90°,
∵∠DEF=∠D′EF,
∴∠AEO=∠HEO,
在△AEO和△HEO中
∴△AEO≌△HEO(AAS),
∴AE=EH=ED,
∴ 设OB=OE=x.则AO=6﹣x,
在Rt△AOE中,x2=22+(6﹣x)2,
解得:x=,
∴OB=,
故答案为:.
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【题目】如图,已知A、B两点的坐标分别为(―2,0),(0,1),⊙C的圆心坐标为(0,―1),半径为1.若D是⊙C上的一个动点,射线AD与y轴交于点E,则△ABE面积的最大值是( )
A. 4 B. C. D. 3
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【题目】如图1,△ABC和△DEC均为等腰三角形,且∠ACB=∠DCE=90°,连接BE,AD,两条线段所在的直线交于点P.
(1)线段BE与AD有何数量关系和位置关系,请说明理由.
(2)若已知BC=12,DC=5,△DEC绕点C顺时针旋转,
①如图2,当点D恰好落在BC的延长线上时,求AP的长;
②在旋转一周的过程中,设△PAB的面积为S,求S的最值.
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【题目】如图,直线y=x+c与x轴交于点A(﹣4,0),与y轴交于点C,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A,C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知点P是抛物线上的一个动点,并且点P在第二象限内,过动点P作PE⊥x轴于点E,交线段AC于点D.
①如图1,过D作DF⊥y轴于点F,交抛物线于M,N两点(点M位于点N的左侧),连接EF,当线段EF的长度最短时,求点P,M,N的坐标;
②如图2,连接CD,若以C,P,D为顶点的三角形与△ADE相似,求△CPD的面积.
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【题目】如图,D、E是以AB为直径的圆O上两点,且∠AED=45°,过点D作DC∥AB.
(1)请判断直线CD与圆O的位置关系,并说明理由;
(2)若圆O的半径为,,求AE的长;
(3)过点D作,垂足为F,直接写出线段AE、BE、DF之间的数量关系 .
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【题目】(1)课本情境:如图,已知矩形AOBC,AB=6cm,BC=16cm,动点P从点A出发,以3cm/s的速度向点O运动,直到点O为止;动点Q同时从点C出发,以2cm/s的速度向点B运动,与点P同时结束运动,出发 时,点P和点Q之间的距离是10cm;
(2)逆向发散:当运动时间为2s时,P,Q两点的距离为多少?当运动时间为4s时,P,Q两点的距离为多少?
(3)拓展应用:若点P沿着AO→OC→CB移动,点P,Q分别从A,C同时出发,点Q从点C移动到点B停止时,点P随点Q的停止而停止移动,求经过多长时间△POQ的面积为12cm2?
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【题目】如图,二次函数的图象与轴交于,,与轴交于点.若点,同时从点出发,都以每秒个单位长度的速度分别沿,边运动,其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动.
(1)直接写出二次函数的解析式;
(2)当,运动到秒时,将△APQ沿翻折,若点恰好落在抛物线上点处,求出点坐标;
(3)当点运动到点时,点停止运动,这时,在轴上是否存在点,使得以,,为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,请直接写出 点坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】某公司对办公大楼一块墙面进行如图所示的图案设计.这个图案由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成的大正方形,设小正方形的边长m,直角三角形较短边长n,且n=2m﹣4,大正方形的面积为S.
(1)求S关于m的函数关系式.
(2)若小正方形边长不大于3,当大正方形面积最大时,求m的值.
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