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如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长,那么称这个三角形为“匀称三角形”

(1)已知:如图1,在ABC中,C=90°,

求证:ABC是“匀称三角形”;

(2)在平面直角坐标系xoy中,如果三角形的一边在x轴上,且这边的中线恰好等于这边的长,我们又称这个三角形为“水平匀称三角形”如图2,现有10个边长是1的小正方形组成的长方形区域记为G, 每个小正方形的顶点称为格点,A(3,0),B(4,0),若C、D(C、D两点与O不重合)是x轴上的格点,且点C在点A的左侧在G内使PAC与PBD都是“水平匀称三角形”的点P共有几个?其中是否存在横坐标为整数的点P,如果存在请求出这个点P的坐标,如果不存在请说明理由

 

 

(1)证明见解析;(2)4个,存在,(3,

【解析】

试题分析:(1)应用勾股定理求出AC和它的中线长,根据匀称三角形的定义即可证得

(2)根据匀称三角形的定义求解即可

试题解析:(1) 如图1,作AC边的中线BD交AC于点D,

∵∠C=90°,BC= 2,AB = 2AC = = 4

AD=CD=2,BD = AC = BD

ABC是“匀称三角形”

(2)在G内使PAC与PBD都是“水平匀称三角形”的点P共有4个

在G内使PAC与PBD都是“水平匀称三角形”的点P中,存在横坐标为整数的点P

如图,当C点坐标为(2,0),D点坐标为(3,0)与A重合时,PAC与PBD是水平匀称三角形

A(3,0),C(2,0),B(4,0),D(3,0),AC=1,BD=1

设PM、PN分别为CA、DB上的中线,

AM=,AN=, AM=AN=

点A为MN的中点

∵△PAC与PBD是“水平匀称三角形”,

PM=AC=1,PN=BD=1PM=PN=1

PAMN,即PA与x轴垂直

A(3,0),P点横坐标为整数3

在RtPMA中,PM=1,AM=PA=

P(3,

当C点坐标为(2,0),D点坐标为(3,0)与A重合时,PAC与PBD是水平匀称三角形且P点横坐标为整数

考点:1新定义和阅读理解型问题;2勾股定理;3点的坐标

 

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A.2B.3C.4D.5

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