Question

【题目】如图，已知顶点为M（，）的抛物线过点D（3，2），交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P在直线AD上方时，求△PAD面积的最大值，并求出此时点P的坐标；

（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q'．是否存在点P，使Q'恰好落在x轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大值为4，点P（1，3）；（3）存在，点P的坐标为（，）．

【解析】

（1）用待定系数法求解即可；

（2）由△PAD面积S＝S△PHA+S△PHD，即可求解；

（3）结合图形可判断出点P在直线CD下方，设点P的坐标为（a，），当P点在y轴右侧时，运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可．

解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣h）2+k＝a（x﹣）2+，

将点D的坐标代入上式得：2＝a（3﹣）2+，

解得：a＝﹣，

∴抛物线的表达式为：；

（2）当x＝0时，y＝﹣x2+x+2＝2，

即点C坐标为（0，2），

同理，令y＝0，则x＝4或﹣1，故点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（4，0），

过点P作y轴的平行线交AD于点H，

由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为：y＝（x+1），

设点P（x，﹣x2+x+2），则点H（x，x+），

则△PAD面积为：

S＝S△PHA+S△PHD＝×PH×（xD﹣xA）＝×4×（﹣x2+x+2﹣x）＝﹣x2+2x+3，

∵﹣1＜0，故S有最大值，

当x＝1时，S有最大值，则点P（1，3）；

（3）存在满足条件的点P，显然点P在直线CD下方，设直线PQ交x轴于F，点P的坐标为（a，﹣a2+a+2），

当P点在y轴右侧时（如图2），CQ＝a，

PQ＝2﹣（﹣a2+a+2）＝a2﹣a，

又∵∠CQ′O+∠FQ′P＝90°，∠COQ′＝∠Q′FP＝90°，

∴∠FQ′P＝∠OCQ′，

∴△COQ′∽△Q′FP，

，即，

∴Q′F＝a﹣3，

∴OQ′＝OF﹣Q′F＝a﹣（a﹣3）＝3，CQ＝CQ′＝，

此时a＝，点P的坐标为（，）．