Question

14．（1）叙述三角形中位线定理，并运用平行四边形的知识证明；
（2）运用三角形中位线的知识解决如下问题：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB，CD的中点，求证：EF=$\frac{1}{2}$（AD+BC）

Answer 1

分析 （1）作出图形，然后写出已知、求证，延长EF到D，使FD=EF，利用“边角边”证明△AEF和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=CD，全等三角形对应角相等可得∠D=∠AEF，再求出CE=CD，根据内错角相等，两直线平行判断出AB∥CD，然后判断出四边形BCDE是平行四边形，根据平行四边形的性质可得DE∥BC，DE=BC．
（2）连接AF并延长，交BC延长线于点M，根据ASA证明△ADF≌△MCF，判断EF是△ABM的中位线，根据三角形中位线定理即可得出结论．

解答 （1）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
已知：△ABC中，点E、F分别是AB、AC的中点，
求证：EF∥BC且EF=$\frac{1}{2}$BC，
证明：如图，延长EF到D，使FD=EF，
∵点F是AC的中点，
∴AF=CF，
在△AEF和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=FC}\\{∠AFE=∠CFD}\\{EF=FD}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△CDF（SAS），
∴AE=CD，∠D=∠AEF，
∴AB∥CD，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE，
∴BE=CD，
∴BE$\stackrel{∥}{=}$CD，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴DE∥BC且EF=$\frac{1}{2}$BC．
证明：连接AF并延长，交BC延长线于点M，
∵AD∥BC，
∴∠D=∠FCM，
∵F是CD中点，
∴DF=CF，
在△ADF和△MCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠FCM}\\{DF=CF}\\{∠AFD=∠MFC}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△MCF（ASA），
∴AF=FM，AD=CM，
∴EF是△ABM的中位线，
∴EF∥BC∥AD，EF=$\frac{1}{2}$BM=$\frac{1}{2}$（AD+BC）．

点评 本题实际上考查了梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．其中利用了全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，准确作出辅助线是解题关键．