Question

（2011•南京）如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．
（1）如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE丄CD，垂足为E．试说明E是△ABC的自相似点；
（2）在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．
①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；
②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB上的中线，
∴CD=AB，
∴CD=BD，
∴∠BCE=∠ABC，
∵BE⊥CD，∴∠BEC=90°，
∴∠BEC=∠ACB，
∴△BCE∽△ACB，
∴E是△ABC的自相似点；
（2）

①如图所示，
做法：①在∠ABC内，作∠CBD=∠A，；
②在∠ACB内，作∠BCE=∠ABC，BD交CE于点P，
则P为△ABC的自相似点；
②∵P是△ABC的内心，
∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，
∵∠PBC=∠A，∠BCP=∠ABC=∠2∠PBC=2∠A，∠ACB=2∠BCP=4∠A，
∴∠A+2∠A+4∠A=180°，
∴∠A=，
∴该三角形三个内角度数为：，，．

解析