已知:在△ABC中.∠BAC=90°.AB=AC.点D为直线BC上一动点.以AD为边作正方形ADEF.连接CF．(1)如图1.当点D在线段BC上时.求证:△BAD≌△CAF,(2)如图2.当点D在线段BC的延长线上时.其它条件不变.请直接写出CF.BC.CD三条线段之间的关系,(3)如图3.当点D在线段BC的反向延长线上时.且点A.F分别在直线BC的两侧.其它条件不� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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3．已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）、以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：△BAD≌△CAF；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：
①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系．
②若正方形ADEF的边长为2，对角线AE、DF，相交于点O，连接OC，求OC的长度．

分析（1）△ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可证明△BAD≌△CAF；
（2）同（1）相同，利用SAS即可证得△BAD≌△CAF，从而证得BD=CF，即可得到CF-CD=BC；
（3）首先证明△BAD≌△CAF，△FCD是直角三角形，然后根据正方形的性质即可求得DF的长，则OC即可求得

解答证明：（1）∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴AB=AC，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=90°-∠DAC，∠CAF=90°-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
则在△BAD和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
（2）CF-CD=BC；与（1）同理可得△BAD≌△CAF，
∴BD=CF，
∴CF-CD=BC；
（3）①CD-CF=BC
②∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴AB=AC，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=90°-∠BAF，∠CAF=90°-∠BAF，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠ABD，
∵∠ABC=45°，
∴∠ABD=135°，
∴∠ACF=∠ABD=135°，
∴∠FCD=90°，
∴△FCD是直角三角形．
∵正方形ADEF的边长为2，且对角线AE、DF相交于点O．
∴DF=$\sqrt{2}$AD=2$\sqrt{2}$，O为DF中点．
∴OC=$\frac{1}{2}$DF=$\sqrt{2}$

点评本题考查了正方形与全等三角形的判定与性质的综合应用，证明三角形全等是关键．

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