Question

阅读下列材料，并解决后面的问题，在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，则
（1）过点A作AD⊥BC于D（如图1），
则在Rt△ABD中，AD=

 

；（限用a、b、c、∠A、∠B、∠C中的元素来表示）
在Rt△ACD中，AD=

 

；
∴

 

=

 

∴

 

=

 

同理最后可得，

 

=

 

=

 

；
（2）用尺规画△ABC的外接圆⊙O，半径为r（图2），请你另用不同的方法证明以上结论；并写出上述结论与△ABC外接圆直径的关系．
（3）应用：△ABC中，若∠A=30°，∠B=45°，b=

2

，则a=

 

，外接圆半径r=

 

．

Answer 1

分析：（1）根据正弦的定义写出，然后再等量代换进行整理；
（2）过点C作直径交⊙O于点D，连接BD，根据同弧所对的圆周角相等可得∠D=∠A，直径所对的圆周角是直角可得∠DBC=90°，在Rt△BDC中表示出sinD，也就是sinA，然后代入

a

sinA

整理即可，同理可证其它两个也成立；
（3）代入上述结论计算即可．

解答：（1）解：AD=c•sinB，
AD=b•sinC，
c•sinB=b•sinC，

b

sinB

=

c

sinC

，
同理可得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

；

（2）证明：如图，点C作直径CD交⊙O于点D，连接BD，
∴∠A=∠D（同弧所对的圆周角相等），
∠DBC=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴sinA=sinD，sinD=

a

2r

，
∴

a

sinA

=

a

a 2r

=2r，
同理可证：

b

sinB

=2r，

c

sinC

=2r，
∴

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2r；

（3）解：∵

a

sinA

=

b

sinB

，∠A=30°，∠B=45°，b=

2

，
∴

a

sin30°

=

2

sin45°

，
解得a=

2

×

1 2

2 2

=1，
∵

b

sinB

=2r，
∴

2

sin45°

=2r，
解得r=1，
故答案为：a=1，r=1．

点评：本题考查了解直角三角形，主要利用了正弦的定义，（2）的证明作出辅助性，构造出以直径为斜边的直角三角形是解题的关键，也是难点，希望同学们要多动脑筋，从题目的条件与结论入手考虑问题．