Question

13．宁波地区最近雾霾天气频繁，使得空气净化器得以畅销，某商场代理销售某种空气净化器，其进价是500元/台，经过市场销售后发现，在一个月内，当售价是1000元/台时，可售出50台，且售价每降低20元，就可多售出5台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于600元/台，代理销售商每月要完成不低于60台的销售任务．
（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量x的取值范围；
（2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？

Answer 1

分析 （1）根据题意可以求得y与x的函数关系式，由供货商规定这种空气净化器售价不能低于600元/台，代理销售商每月要完成不低于60台的销售任务可以求得x的取值范围；
（2）根据题意可以得到w关于x的关系式，然后化为顶点式，从而可以求得w的最大值和此时x的值．

解答 解：（1）由题意可得，
y=50+（1000-x）÷20×5=300-$\frac{x}{4}$，
∵货商规定这种空气净化器售价不能低于600元/台，代理销售商每月要完成不低于60台的销售任务，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x≥600}\\{300-\frac{x}{4}≥60}\end{array}\right.$，
解得，600≤x≤960，
即月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式是y=300-$\frac{x}{4}$（600≤x≤960）；
（2）由题意可得，
w=（x-500）（300-$\frac{x}{4}$）=$-\frac{1}{4}（x-850）^{2}+30625$，
∴当x=850时，w取得最大值，此时w=30625，
即当售价x定为850元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大，最大利润是30625元．

点评 本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．