Question

已知抛物线y=-

1

2

x2+bx+4与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，已知A点坐标为（4，0）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图，连接AB，M为AB的中点，∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转，且∠PMQ=45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D．设AD的长为m（m＞0），BC的长为n，求n和m之间的函数关系式．
（3）若抛物线y=-

1

2

x2+bx+4上有一点F（-k-1，-k²+1），当m，n为何值时，∠PMQ的边过点F？

Answer 1

（1）将点A（4，0）代入抛物线解析式可得：0=-

1

2

×4²+4b+4，
解得：b=1，
故抛物线解析式为y=-

1

2

x²+x+4；

（2）抛物线y=-=-

1

2

x²+x+4与x轴的交点为A（4，0），与y轴的交点为B（0，4），
则AB=4

2

，AM=BM=2

2

，
在∠PMQ绕点M在AB同侧旋转过程中，∠MBC=∠DAM=∠PMQ=45°，
在△BCM中，∠BMC+∠BCM+∠MBC=180°，即∠BMC+∠BCM=135°，
在直线AB上，∠BMC+∠PMQ+∠AMD=180°，即∠BMC+∠AMD=135°，
则∠BCM=∠AMD，
故△BCM∽△AMD，
则

BC

AM

=

BM

AD

，即

n

2 2

=

2 2

m

，n=

8

m

，
故n与m之间的函数关系式为n=

8

m

（m＞0）．

（3）∵F（-k-1，-k²+1）在y=-

1

2

x²+x+4上，
∴-

1

2

（-k-1）²+（-k-1）+4=-k²+1，
化简得，k²-4k+3=0，
解得：k₁=1，k₂=3，
即F₁（-2，0）或F₂（-4，-8），
①MF过点M（2，2）和F₁（-2，0），设MF为y=kx+b，
则

2k+b=2 -2k+b=0

，
解得：

k= 1 2 b=1

，
故直线MF的解析式为y=

1

2

x+1，
直线MF与x轴的交点为（-2，0），与y轴交点为（0，1），
若MP过点F（-2，0），则n=4-1=3，m=

8

3

，
若MQ过点F（-2，0），则m=4-（-2）=6，n=

4

3

，
②MF过点M（2，2）或点F₁（-4，-8），设MF为y=kx+b，
则

2k+b=2 -4k+b=-8

，
解得：

k= 5 3 b=- 4 3

，
故直线MF的解析式为y=

5

3

x-

4

3

，
直线MF与x轴的交点为（

4

5

，0），与y轴交点为（0，-

4

3

），
若MP过点F（-4，-8），则n=4-（-

4

3

）=

16

3

，m=

3

2

，
若MQ过点F（-4，-8），则m=4-

4

5

=

16

5

，n=

5

2

，
故当

m1= 8 3 n1=3

，

m2=6 n2= 4 3

，

m3= 3 2 n3= 16 3

或

m4= 16 5 n4= 5 2

时∠PMQ的边过点F．