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如图,AB是⊙O的直径,BC是一条弦,连接OC并延长至点P,使PC=BC,∠BOC=60°.
(1)求证:PB是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为1,且AB、PB的长是方程x2+bx+c=0的两根,求b、c的值.
(1)证明:∵PC=BC,
∴∠P=∠CBP,
又∵OB=OC,∠BOC=60°,
∴△BOC是等边三角形,
∴∠OCB=∠BOC=60°,
又∠OCB=∠P+∠PBC,
∴∠P=∠CBP=30°,
在△BOP中,∠P=30°,∠BOP=60°,
∴∠OBP=90°,
∴BP是⊙O的切线;

(2)∵OB=1,∠P=30°,
∴AB=2,BP=
3

又∵AB、BP是方程x2+bx+c=0的两根,
∴AB+BP=-b,AB•BP=c,
∴b=-2-
3
,c=2
3
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源:不详 题型:填空题

如图,△ABC为等边三角形,AB=6,动点O在△ABC的边上从点A出发沿着A→C→B→A的路线匀速运动一周,速度为1个长度单位每秒,以O为圆心、
3
为半径的圆在运动过程中与△ABC的边第二次相切时是出发后第______秒.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,已知在Rt△ABC中,∠C=Rt∠,a、b、c分别是∠A,∠B,∠C的对边,且a:b=3:4,a+b=c+4.
(1)求a、b长;
(2)若D是AB上的定点,以BD为直径的⊙O恰好切AC于点E,求⊙O的半径r;
(3)若⊙O的圆心O是AB上的动点,求⊙O的半径r在怎样的取值范围内,能使⊙O与AC相切,且与BC所在直线相交?

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图1所示,在△ABC中,AB=AC=2,∠A=90°,O为BC的中点,动点E在BA边上自由移动,动点F在AC边上自由移动.
(1)点E,F的移动过程中,△OEF是否能成为∠EOF=45°的等腰三角形?若能,请指出△OEF为等腰三角形时动点E,F的位置;若不能,请说明理由;
(2)当∠EOF=45°时,设BE=x,CF=y,求y与x之间的函数解析式,写出x的取值范围;
(3)在满足(2)中的条件时,若以O为圆心的圆与AB相切(如图2),试探究直线EF与⊙O的位置关系,并证明你的结论.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

如图,⊙O1的半径为1,正方形ABCD的边长为6,点O2为正方形ABCD的中心,O1O2垂直AB于P点,O1O2=8.若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°,在旋转过程中,⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现(  )
A.3次B.5次C.6次D.7次

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科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

如图所示,AB,AC与⊙O相切于点B,C,点P是圆上异于B、C的一动点,则∠BPC的度数是(  )
A.65°B.115°C.65°或115°D.130°或50°

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科目:初中数学 来源:不详 题型:填空题

如图,在⊙O的外切梯形ABCD中,ADBC,则∠DOC的度数是______.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,点D在⊙O的直径AB的延长线上,点C在⊙O上,AC=CD,∠A=30°.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为3,求图中阴影部分的面积.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,P是⊙O外一点,割线POB与⊙O相交于A、B,切线PC与⊙O相切于C,若PA=2,PC=3,求⊙O的半径.

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