Question

【题目】已知，如图，抛物线与x轴交点坐标为A（1，0），C（-3，0），

（1）若已知顶点坐标D为（-1，4）或B点（0，3），选择适当方式求抛物线的解析式.
（2）若直线DH为抛物线的对称轴，在（1）的基础上，求线段DK的长度，并求△DBC的面积．
（3）将图（2）中的对称轴向左移动，交x轴于点p（m，0）(－3<m<－1)，与线段BC、抛物线的交点分别为点K、Q，用含m的代数式表示QK的长度，并求出当m为何值时，△BCQ的面积最大？

Answer 1

【答案】
（1）解：设二次函数解析式为y=a（x+1）2+4
将B（0，3）代入，得a=-1,
∴二次函数解析式为y=－x2-2x+3
（2）解：∵C（-3，0），B（0，3）且直线DH是抛物线的对称轴，
∴OH=2，CO=3，OB=3
∴CH=2
∵D（-1，4）
∴DH=4，
∵ DH∥OB,
∴ △CHK∽△COB ，
∴KH:OB=CH:CO
∴HK∶3=2∶3
∴HK=2 ,
∴DK=DH-KH=4-2=2；
∴S△DBC= DK×OC= ×2×3=3 。
（3）解：设直线BC的解析式为y=kx+b,
将C,B两点的坐标分别代入得
解得 ,
故直线BC为y=x+3 ,
∵p（m，0） ，
∴ Q(m , -m2-2m+3) , K (m , m+3)
∴ QK=QP-KP=-m2-2m+3-（m+3）=-m2-3m.
S△BCQ= QK×|OC|= （-m2-3m）×3=-- .
∴当m= =- 时，面积最大.
【解析】（1）由于题中给出了抛物线的顶点坐标，故设顶点式，然后代入B点的坐标求出待定系数a的值，从而得出抛物线的解析式；
（2）根据C,B ，D三点的坐标及DH是抛物线的对称轴，得出OH=2，CO=3，OB=3 ，DH=4 ,根据线段的和差得出CH=2 ，由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出 △CHK∽△COB ，根据相似三角形对应边成比例得出KH:OB=CH:CO ，从而求出KH的长度，根据线段的和差得出DK的长度；然后利用割补法把三角形DBC的面积转化为S△DBC= DKOC计算出答案；
（3）首先用待定系数法求出直线BC的函数解析式 ，然后根据P点的坐标，根据一次函数及二次函数上点的坐标特点得出Q,K的坐标，根据两点间的距离公式得出QK的长度，然后利用S△BCQ= QK×|OC| ，得出面积关于m的函数解析式，然后利用顶点坐标的横坐标求出当m= =- 时，面积最大.