Question

9．如图，一次函数y₁=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y₂=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于C、D两点．已知：OA=$\sqrt{10}$，tanAOC=$\frac{1}{3}$，点B的坐标为（$\frac{3}{2}$，m）
（1）求该反比例函数的解析式和点D的坐标；
（2）点M在射线CA上，且MA=2AC，求△MOB的面积．

Answer 1

分析 （1）过A作AE⊥x轴于点E，在Rt△AOE中，可根据OA的长求得A点坐标，代入反比例函数解析式可求反比例函数解析式，进一步可求得B点坐标，利用待定系数法可求得直线AB的解析式，则可求得D点坐标；
（2）过M作MF⊥x轴于点F，可证得△MFC∽△AEC，可求得MF的长，代入直线AB解析式可求得M点坐标，进一步可求得△MOB的面积．

解答 解：
（1）如图1，过A作AE⊥x轴于E，

在Rt△AOE中，tan∠AOC=$\frac{AE}{OE}$=$\frac{1}{3}$，
设AE=a，则OE=3a，
∴OA=$\sqrt{A{E}^{2}+O{E}^{2}}$=$\sqrt{10}$a，
∵OA=$\sqrt{10}$，
∴a=1，
∴AE=1，OE=3，
∴A点坐标为（-3，1），
∵反比例函数y₂=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象过A点，
∴k=-3，
∴反比例函数解析式为y₂=-$\frac{3}{x}$，
∵反比例函数y₂=-$\frac{3}{x}$的图象过B（$\frac{3}{2}$，m），
∴$\frac{3}{2}$m=-3，解得m=-2，
∴B点坐标为（$\frac{3}{2}$，-2），
设直线AB解析式为y=nx+b，把A、B两点坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{-3n+b=1}\\{\frac{3}{2}n+b=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{n=-\frac{2}{3}}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x-1，
令x=1，可得y=-1，
∴D点坐标为（0，-1）；
（2）由（1）可得AE=1，
∵MA=2AC，
∴$\frac{CA}{CM}$=$\frac{1}{3}$，
如图2，过M作MF⊥x轴于点F，则△CAE∽△CMF，

∴$\frac{CA}{CM}$=$\frac{AE}{MF}$=$\frac{1}{3}$，
∴MF=3，即M点的纵坐标为3，
代入直线AB解析式可得3=-$\frac{2}{3}$x-1，解得x=-6，
∴M点坐标为（-6，3），
∴S_△MOB=$\frac{1}{2}$OD•（x_B-x_M）=$\frac{1}{2}$×1×（$\frac{3}{2}$+6）=$\frac{15}{4}$，
即△MOB的面积为$\frac{15}{4}$．

点评 本题主要考查函数的交点问题，掌握函数的交点坐标满足每一个函数解析式是解题的关键，在求△MOB的面积时注意坐标的灵活运用．