Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，∠BAC＝120°、OA⊥BC、若AB＝4.

(1)求证：四边形OACD为菱形.

(2)求AD的长.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)AD=4.

【解析】

(1)由已知条件和垂径定理以及圆周角定理易证四边形OACD为平行四边形，再由邻边相等的平行四边形为菱形，可得结论；

(2)由(1)可知BD＝2AB＝8，在Rt△ABD中利用勾股定理即可求出AD的长.

(1)证明：∵OA⊥BC，

∴，

∴AB＝AC，∠CDA＝∠ADB＝∠CDB，

∵∠BAC＝120°，

∴∠BDC＝180°﹣120°＝60°，

∴∠CDA＝∠ADB＝30°，

∵BD为⊙O的直径，

∴∠BAD＝90°.

∴AC＝AB＝BD，∠CAD＝∠CAB﹣∠BAD＝30°，

∴AC∥OD，AC=OD，

∴四边形OACD为平行四边形，

又∵OA＝OD，

∴四边形OACD为菱形；

(2)由(1)可知BD＝2AB＝8，

在Rt△ABD中，AD＝＝4.