Question

3．已知△ABC中，∠ACB=2∠B，
（1）如图1，图2中AD是∠BAC的平分线，
①若∠C=90°，∠B=45°，可得AB=AC+CD（如图1）（不需要证明）
②图2中，AB，AC，CD有什么关系，直接写出来．
（2）若AD是△ABC的外角的平分线，那么AB，AC，CD有什么关系，写出来，并进行证明．

Answer 1

分析 （1）先构造全等三角形△ADE≌△ADC，得出结论再判断出△BDE是等腰三角形，转化即可；
（2）同（1）的方法，
（3）同（1）的方法，最后得出AB=CD-AC．

解答 解：（1）①如图1，在AB上截取AE=AC，
连接DE，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD
在△ADE和△ADC中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AC}\\{∠BAD=∠CAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△ADC，
∴DE=DC，∠AED=∠C，
∵∠ACB=2∠B，
∴∠EBD=∠BDE，
∴BE=DE，
∴BE=DC，
∴AB=AE+BE=AC+CD；
②如图2，在AB上截取AE=AC，连接DE，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD
在△ADE和△ADC中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AC}\\{∠BAD=∠CAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△ADC，
∴DE=DC，∠AED=∠ACB，
∵∠ACB=2∠B，
∴∠EBD=∠BDE，
∴BE=DE，
∴BE=DC，
∴AB=AE+BE=AC+CD；
（2）
如图3，在BA的延长线AF上取一点E，使得AE=AC，连接DE
在△ADE和△ADC中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AC}\\{∠BAD=∠CAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△ADC，
∴∠ACD=∠AED，CD=DE，
∴∠ACB=∠FED，
又∵∠ACB=2∠B，
∴∠FAD=2∠B，
又∵∠FED=∠B+∠EDB，
∴∠EDB=∠B，
∴DE=BE，
∴BE=CD，
∴AB=CD-AC．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，用截长补短的方法是解本题的关键，本题也可以延长AC至G，使CG=CD．