Question

【题目】已知：正方形ABCD和等腰直角三角形AEF，AE=AF（AE＜AD），连接DE、BF，P是DE的中点，连接AP。将△AEF绕点A逆时针旋转。

（1）如图①，当△AEF的顶点E、F恰好分别落在边AB、AD时，则线段AP与线段BF的位置关系为 ，数量关系为 。

（2）当△AEF绕点A逆时针旋转到如图②所示位置时，证明：第（1）问中的结论仍然成立。

（3）若AB=3,AE=1，则线段AP的取值范围为 。

Answer 1

【答案】（1）AP⊥BF，（2）见解析；（3）1≤AP≤2

【解析】

（1）根据直角三角形斜边中线定理可得 ，即△APD为等腰三角形推出∠DAP=∠EDA，可证△AED≌△ABF可得∠ABF=∠EDA=∠DAP 且 BF=ED由三角形内角和可得∠AOF=90°即AP⊥BF由全等可得 即

（2）延长AP至Q点使得DQ∥AE，PA延长线交于G点，利用P是DE中点，构造△AEP≌△PDQ可得∠EAP=∠PQD，DQ=AE=FA可得∠QDA=∠FAB可证△FAB≌△QDA 得到∠AFB=∠PQD=∠EAP，AQ=FB由三角形内角和可得∠FAG=90°得出AG⊥FB即AP⊥BF由全等可得

（3）由于 即求BF的取值范围，当BF最小时，即F在AB上，此时BF=2，AP=1

当BF最大时，即F在BA延长线上，此时BF=4，AP=2可得1≤AP≤2

（1）

根据直角三角形斜边中线定理有AP是△AED中线可得 ，即△APD为等腰三角形。

∴∠DAP=∠EDA

又AE=AF，∠BAF=∠DAE=90°，AB=AD

∴△AED≌△ABF

∴∠ABF=∠EDA=∠DAP 且 BF=ED

设AP与BF相交于点O

∴∠ABF+∠AFB=90°=∠DAP+∠AFB

∴∠AOF=90°即AP⊥BF

∴ 即

故答案为：AP⊥BF，

（2）

延长AP至Q点使得DQ∥AE，PA延长线交于G点

∴∠EAP=∠PQD，∠AEP=∠QDP

∵P是DE中点，

∴EP=DP

∴△AEP≌△PDQ

则∠EAP=∠PQD，DQ=AE=FA

∠QDA=180°-（∠PAD+∠PQD）

=180°-∠EAD

而∠FAB=180°-∠EAD，则∠QDA=∠FAB

∵AF=DQ，∠QDA=∠FAB ，AB=AD

∴△FAB≌△QDA

∴∠AFB=∠PQD=∠EAP，AQ=FB

而∠EAP+∠FAG=90°

∴∠AFB+∠FAG=90°

∴∠FAG=90°

∴AG⊥FB

即AP⊥BF

又

∴

（3）∵

∴即求BF的取值范围

BF最小时，即F在AB上，此时BF=2，AP=1

BF最大时，即F在BA延长线上，此时BF=4，AP=2

∴ 1≤AP≤2