抛物线C1:y1=-$\sqrt{3}$x2+2$\sqrt{3}$x的顶点为A.与x轴的正半轴交于点B．(Ⅰ)求点A点B的坐标,(Ⅱ)设直线y2=$\sqrt{3}$x+m.若无论x取何相同值时.都有y2＞y1.求m的范围,(Ⅲ)将抛物线C1上的点.变换后得到的抛物线记作C2.抛物线C2的顶点为C.点P早抛物线C2上.满足S△PBC=S△ABC.且∠ACP=90°．①当k＞1时.求k� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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19．抛物线C₁：y₁=-$\sqrt{3}$x²+2$\sqrt{3}$x的顶点为A，与x轴的正半轴交于点B．
（Ⅰ）求点A点B的坐标；
（Ⅱ）设直线y₂=$\sqrt{3}$x+m，若无论x取何相同值时，都有y₂＞y₁，求m的范围；
（Ⅲ）将抛物线C₁上的点（x，y）变为（kx，ky）（|k|＞1），变换后得到的抛物线记作C₂，抛物线C₂的顶点为C，点P早抛物线C₂上，满足S_△PBC=S_△ABC，且∠ACP=90°．
①当k＞1时，求k的值；
②当k＜-1时，请你直接写出k的值，不必说明理由．

分析（Ⅰ）把函数解析式化为顶点式即可得到A（1，$\sqrt{3}$），解方程即可得到B（2，0）；
（Ⅱ）由y₁=-$\sqrt{3}$x²+2$\sqrt{3}$x开口向下，顶点坐标为A（1，$\sqrt{3}$），由无论x取何相同值时，都有y₂＞y₁，得到直线y₂=$\sqrt{3}$x+m与抛物线y₁=-$\sqrt{3}$x²+2$\sqrt{3}$x无交点，于是得到△=（$\sqrt{3}$）²-4$\sqrt{3}$m＜0，即可不等式即可得到结论；
（Ⅲ）①如图1中，当k＞1时，与（1）同理可得抛物线C₂的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{k}$x²+2$\sqrt{3}$x及顶点C的坐标，根据S_△PAC=S_△ABC知BP∥AC，继而可得△ABO是边长为2的正三角形，四边形CEBP是矩形，表示出点P的坐标，将其代入到抛物线C₂解析式可求得k的值；
②如图2中，当k＜-1时，作△ABO关于y轴对称的△A′B′O，OE′⊥A′B′，同理可得四边形CEBP是矩形，先求出抛物线C₂解析式，表示出点P的坐标，将其代入到抛物线C₂解析式可求得k的值；

解答解：（Ⅰ）∵y₁=-$\sqrt{3}$x²+2$\sqrt{3}$x=-$\sqrt{3}$（x-1）²+$\sqrt{3}$，
∴A（1，$\sqrt{3}$），
当y₁=0时，即-$\sqrt{3}$x²+2$\sqrt{3}$x=0，
∴x₁=0，x₂=2，
∴B（2，0）；
（Ⅲ）∵y₁=-$\sqrt{3}$x²+2$\sqrt{3}$x开口向下，顶点坐标为A（1，$\sqrt{3}$），
∵无论x取何相同值时，都有y₂＞y₁，
∴直线y₂=$\sqrt{3}$x+m与抛物线y₁=-$\sqrt{3}$x²+2$\sqrt{3}$x无交点，
即$\sqrt{3}$x+m=-$\sqrt{3}$x²+2$\sqrt{3}$x无实数根，
∴△=（$\sqrt{3}$）²-4$\sqrt{3}$m＜0，
∴m＞$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴m的范围是m＞$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
（Ⅲ）①如图1中，当k＞1时，
∵抛物线C₂经过原点O，（k，$\sqrt{3}$k），（2k，0）三点，
∴抛物线C₂的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{k}$x²+2$\sqrt{3}$x，
∴O、A、C三点共线，且顶点C为（k，$\sqrt{3}$k），

如图，∵S_△PAC=S_△ABC，
∴BP∥AC，
过点P作PD⊥x轴于D，过点B作BE⊥AO于E，
由题意知△ABO是边长为2的正三角形，四边形CEBP是矩形，
∴OE=1，CE=BP=2k-1，
∵∠PBD=60°，
∴BD=k-$\frac{1}{2}$，PD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2k-1），
∴P（k+$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2k-1）），
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2k-1）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（k+$\frac{3}{2}$）²+2$\sqrt{3}$（k+$\frac{3}{2}$），
解得：k=$\frac{9}{2}$；
②如图2中，当k＜-1时，

∵抛物线C₂经过原点O，（k，$\sqrt{3}$k），（2k，0）三点，
∴抛物线C₂的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{k}$x²+2$\sqrt{3}$x，
∴O、A、C′三点共线，且顶点C′为（k，$\sqrt{3}$k），
作△ABO关于y轴对称的△A′B′O，OE′⊥A′B′，
∵S_△PAC′=S_△ABC=S_△AC′B′，
∴A′P∥AC′，由题意四边形PC′OE′是矩形，
∴PE′=OC′=-2k，B′E′=1，PB′=-2k-1，
在Rt△PDB′中，∵∠PDB′=90°，∠PB′D=∠A′B′O=60°，
∴DB′=$\frac{1}{2}$PB′=$\frac{12k-1}{2}$，DP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（-2k-1），
∴点P坐标[$\frac{2k-3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2k+1）]，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2k+1）=-$\frac{\sqrt{3}}{k}$（$\frac{2k-3}{2}$）²+2$\sqrt{3}$（$\frac{2k-3}{2}$）
∴k=-$\frac{9}{2}$．

点评本题主要考查待定系数求函数解析式及二次函数的性质、解直角三角形等知识点，根据题意表示出点P的坐标是解题的关键，学会添加辅助线构造特殊四边形解决问题，属于中考压轴题．

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