Question

9．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且∠BDE=∠A．
（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若AC=16，tanA=$\frac{3}{4}$，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接DO，BD，如图，由于∠BDE=∠A，∠A=∠ADO，则∠ADO=∠EDB，再根据圆周角定理得∠ADB=90°，所以∠ADO+∠ODB=90°，于是得到∠ODB+∠EDB=90°，然后根据切线的判定定理可判断DE为⊙O的切线；
（2）利用等角的余角相等得∠ABD=∠EBD，加上BD⊥AC，根据等腰三角形的判定方法得△ABC为等腰三角形，所以AD=CD=$\frac{1}{2}$AC=8，然后在Rt△ABD中利用正切定义可计算出BD=6，再根据勾股定理计算出AB，从而得到⊙O的半径．

解答 解：（1）DE与⊙O相切．理由如下：
连接DO，BD，如图，
∵∠BDE=∠A，∠A=∠ADO，
∴∠ADO=∠EDB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADO+∠ODB=90°，
∴∠ODB+∠EDB=90°，即∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线；
（2）∵∠BDE=∠A，
∴∠ABD=∠EBD，
而BD⊥AC，
∴△ABC为等腰三角形，
∴AD=CD=$\frac{1}{2}$AC=8，
在Rt△ABD中，∵tanA=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{3}{4}$，
∴BD=$\frac{3}{4}$×8=6，
∴AB=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
∴⊙O的半径为5．

点评 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了解直角三角形．