Question

【题目】如图，在中，，，为边的中点，过点作交的延长线于点，平分交于点．

（1）求证：判断四边形的形状，并证明；

（2）若，求及四边形的面积．

Answer 1

【答案】（1）是平行四边形，详见解析；（2）12

【解析】

（1）根据等腰直角三角形性质得∠ABC=∠BAC=45°，根据垂直定义得∠ECB=∠CBF=45°，证△CED≌△BDF（ASA），推出ED=FD，CD=BD即可；

（2）延长CE与AB相交于H，根据勾股定理求出CD,AC和AB,推出EH是△ABF的中位线，根据中位线性质得到BF=2EH,AE=EF，根据勾股定理求出EH，根据平行四边形面积公式直接再求解．

解：（1）四边形是平行四边形，理由：

∵在△ABC中，，AC=BC，

∴∠ABC=∠BAC=45°

∵D是BC中点

∴CD=BD

∵BF⊥AB

∴∠ABF=90°

∴∠CBF=90°-45°=45°

∵CE平分∠ACB

∴∠ECB=∠CBF=45°

在△CED和△BFD中

∴△CED≌△BDF（ASA）

∴ED=FD

又CD=BD

∴四边形是平行四边形

（2）延长CE与AB相交于H

设CD=x,则AC=BC=2x

在直角三角形ADC中

解得x=3

∴AC=6

∴AB=

∵AC=BC,CE平分∠ACB

∴CH⊥AB,BH=

又∵

∴EH∥BF

∴EH是△ABF的中位线

∴BF=2EH,AE=EF

又∵ED=DF

∴AE=

∴EH=

∴BF=2EH=2

∴平行四边形的面积：BFBH=