Question

如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，F为垂足．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若BE=AB=2，求线段AD、AB、弧BD围成的面积．

Answer 1

解：（1）连接OD，BD；
∵AB=BC（已知），
∴∠A=∠C（等边对等角）．
∵OA=OD（⊙O的半径），
∴∠A=∠ADO（等边对等角），
∴∠C=∠ADO（等量代换），
∴OD∥BC（同位角相等，两直线平行）．
又∵DF⊥BC，
∴OD⊥DE．
∵点D在⊙O上，
∴直线DE是⊙O的切线；

（2）∵OD⊥DE，
∴∠ODE=90°．
∵BE=AB=2，
∴OB=BE=2，
∴OD=OB=OE，
∴∠E=30°，
∴∠DOB=60°，
∴△ODB是等边三角形，
∴∠DBA=60°，
∴S_△ABDAB•BDsin∠ABD=×4×2×=2，S_扇形OBD==，S_△OBD=OB•ODsin∠DOB=×2×2×=，
∴线段AD、AB、弧BD围成的面积=S_△ABD+S_扇形OBD-S_△OBD=2+-=+．
分析：（1）要想证DE是⊙O的切线，只要连接OD，求证OD⊥DE即可；
（2）线段AD、AB、弧BD围成的面积=S_△ABD+S_扇形OBD-S_△OBD．
点评：本题考查了切线的判定与性质、等腰三角形的性质以及扇形面积的计算等．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．