如图.抛物线y=-12x2+mx+n与x轴交于A.B两点.与y轴交于点C.抛物线的对称轴交x轴于点D.已知A．(1)求抛物线的表达式,(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P.使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在.直接写出P点的坐标,如果不存在.请说明理由,(3)点E是线段BC上的一个动点.过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F.当点E运动到什么位置时.四边形CDBF的面积最大?求� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，抛物线y=-

x²+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（-1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

考点：二次函数综合题

专题：代数几何综合题,压轴题

分析：（1）由待定系数法建立二元一次方程组求出求出m、n的值即可；
（2）由（1）的解析式求出顶点坐标，再由勾股定理求出CD的值，再以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1，以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P₂，P₃，作CE垂直于对称轴与点E，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；
（3）先求出BC的解析式，设出E点的坐标为（a，-

a+2），就可以表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S_△BCD+S_△CEF+S_△BEF求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．

解答：

解：（1）∵抛物线y=-

x²+mx+n经过A（-1，0），C（0，2）．
解得：

n=2

，
∴抛物线的解析式为：y=-

x²+

x+2；

（2）∵y=-

x²+

x+2，
∴y=-

（x-

）²+

，
∴抛物线的对称轴是x=

．
∴OD=

．
∵C（0，2），
∴OC=2．
在Rt△OCD中，由勾股定理，得
CD=

．
∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，
∴CP₁=DP₂=DP₃=CD．
作CM⊥x对称轴于M，
∴MP₁=MD=2，
∴DP₁=4．

∴P₁（

，4），P₂（

，

），P₃（

，-

）；

（3）当y=0时，0=-

x²+

x+2
∴x₁=-1，x₂=4，
∴B（4，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得

2=b

0=4k+b

，
解得：

k=-

b=2

，
∴直线BC的解析式为：y=-

x+2．
如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，-

a+2），F（a，-

a²+

a+2），
∴EF=-

a²+

a+2-（-

a+2）=-

a²+2a（0≤a≤4）．
∵S_{四边形CDBF}=S_△BCD+S_△CEF+S_△BEF=

BD•OC+

EF•CM+

EF•BN，
=

×2+

a（-

a²+2a）+

（4-a）（-

a²+2a），
=-a²+4a+

（0≤a≤4）．
=-（a-2）²+

∴a=2时，S_{四边形CDBF的面积最大}=

，
∴E（2，1）．

点评：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，二次函数的解析式的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，四边形的面积的运用，解答时求出函数的解析式是关键．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>