Question

8．如图，Rt△ABC中点D是AB中点，过点B，点C分别作BE∥CD，CE∥BD．
（1）求证：四边形BECD是菱形；
（2）若∠A=60°，AC=$\sqrt{3}$，求菱形BECD的面积．

Answer 1

分析 （1）先证明四边形BECD是平行四边形，再根据直角三角形中线的性质可得CD=BD，再根据菱形的判定即可求解；
（2）根据图形可得菱形BECD的面积=直角三角形ACB的面积，根据三角函数可求BC，根据直角三角形面积公式求解即可．

解答 （1）证明：∵BE∥CD，CE∥BD，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵Rt△ABC中点D是AB中点，
∴CD=BD，
∴四边形BECD是菱形；

（2）解：∵Rt△ABC中，∠A=60°，AC=$\sqrt{3}$，
∴BC=$\sqrt{3}$AC=3，
∴直角三角形ACB的面积为3×$\sqrt{3}$÷2=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴菱形BECD的面积是$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．