Question

6．如图，已知以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为弧BE的中点，连接AD交OE于点F，若AC=FC
（Ⅰ）求证：AC是⊙O的切线；
（Ⅱ）若BF=5，DF=$\sqrt{17}$，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OA、OD，求出∠D+∠OFD=90°，推出∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，求出∠OAD+∠CAF=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）OD=r，OF=8-r，在Rt△DOF中根据勾股定理得出方程r²+（8-r）²=（$\sqrt{17}$）²，求出即可．

解答 （1）证明：
连接OA、OD，
∵D为弧BE的中点，
∴OD⊥BC，
∠DOF=90°，
∴∠D+∠OFD=90°，
∵AC=FC，OA=OD，
∴∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，
∵∠CFA=∠OFD，
∴∠OAD+∠CAF=90°，
∴OA⊥AC，
∵OA为半径，
∴AC是⊙O切线；

（2）解：∵⊙O半径是r，
∴OD=r，OF=5-r，
在Rt△DOF中，r²+（5-r）²=（$\sqrt{17}$）²，
r=4，r=1（舍），
即⊙O的半径r为4．

点评 本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的应用，主要考查学生的推理和计算的能力．