Question

【题目】如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M，

（1）求证：M是BE的中点．

（2）若CD＝1，DE＝，求△ABD的周长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）3+．

【解析】

（1）连接BD，根据等边三角形的性质得到∠DBC＝＝30°，再利用三角形外角性质得到∴∠E＝30°，然后利用等角对等边及等腰三角形三线合一的性质进行证明；（2）利用等边三角形的性质和30°所对直角边是斜边的一半求解.

（1）连接BD，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC，

∵D为AC的中点，

∴∠DBC＝＝30°，

∵CD＝CE，

∴∠E＝∠CDE，

∵∠E+∠CDE＝∠ACB＝60°，

∴∠E＝30°，

∴∠DBC＝∠E，

∴BD＝ED，

∴DM⊥BE，

∴M是BE的中点；

（2）由题意可知，BD＝DE＝，

∵D为AC的中点，

∴AD＝CD＝1，

又∵等边△ABC中，D是AC的中点

AB＝AC＝2CD＝2，

则△ABD的周长AB+AD+BD＝3+．