Question

1．纸片△ABC中，∠B=60°，AB=16cm，AC=14cm，将它折叠，使A与B重合，则折痕长为$\frac{40\sqrt{3}}{11}$或$\frac{24\sqrt{3}}{13}$cm．

Answer 1

分析 当△ABC是锐角三角形时，如图1中，EF是折痕，作CM⊥AB垂足为M，作AH⊥BC于H，再求出BH、CH，在Rt△BCM中QC BM、CM，再根据EF∥CM得$\frac{EF}{CM}=\frac{AE}{AM}$，由此即可解决．当△ABC是钝角三角形时，如图2中，EF是折痕，作CM⊥AB垂足为M，作AH⊥BC于H，方法同上．

解答 解：当△ABC是锐角三角形时，如图1中，EF是折痕，作CM⊥AB垂足为M，作AH⊥BC于H，
在RT△ABH中，∵∠AHB=90°，∠B=60°，AB=8，
∴BH=$\frac{1}{2}$AB=8，AH=$\sqrt{3}$BH=8$\sqrt{3}$，
在Rt△AHC中，∠AHC=90°，AH=8$\sqrt{3}$，AC=14，
∴HC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{1{4}^{2}-（8\sqrt{3}）^{2}}$=2，
∴BC=10，
在Rt△BCM中，∵∠CMB=90°，∠B=60°，BC=10，
∴BM=$\frac{1}{2}$BC=5，MC=5$\sqrt{3}$，
∵EF∥CM，AE=EB=8，
∴$\frac{EF}{CM}$=$\frac{AE}{AM}$，
∴$\frac{EF}{5\sqrt{3}}$=$\frac{8}{11}$，
∴EF=$\frac{40\sqrt{3}}{11}$．
当△ABC是钝角三角形时，如图2中，EF是折痕，作CM⊥AB垂足为M，作AH⊥BC于H，
由（1）可知，BH=8，AH=8$\sqrt{3}$，CH=2，
∴BC=BH-CH=6，
在Rt△BCM中，∵∠CMB=90°，∠B=60°，BC=6，
∴BM=$\frac{1}{2}$BC=3，MC=$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$，
∵EF∥CM，AE=EB=4，
∴$\frac{EF}{CM}$=$\frac{AE}{AM}$，
∴$\frac{EF}{\frac{3\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{8}{13}$，
∴EF=$\frac{24\sqrt{3}}{13}$．
故答案为$\frac{40\sqrt{3}}{11}$或$\frac{24\sqrt{3}}{13}$．

点评 本题考查翻折变换、30度直角三角形的性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，学会应用平行线分线段成比例定理求线段的长，属于中考常考题型．