Question

如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的⊙O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．
（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB=

2

，BC=2，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）直线CE与⊙O相切．…（1分）
理由：连接OE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=∠BAD=90°，BC∥AD，CD=AB，…（2分）
∴∠DCE+∠DEC=90°，∠ACB=∠DAC，
又∠DCE=∠ACB，
∴∠DEC+∠DAC=90°，
∵OE=OA，
∴∠OEA=∠DAC，
∴∠DEC+∠OEA=90°，
∴∠OEC=90°，
∴OE⊥EC，…（3分）
∵OE为圆O半径，
∴直线CE与⊙O相切；…（4分）

（2）∵∠B=∠D，∠DCE=∠ACB，
∴△CDE∽△CBA，…（5分）
∴

BC

DC

=

AB

DE

，…（6分）
又CD=AB=

2

，BC=2，
∴DE=1
根据勾股定理得EC=

3

，
又AC=

AB2+BC2

=

6

，…（7分）
设OA为x，则（

3

）²+x²=（

6

-x）²，
解得x=

6

4

，
∴⊙O的半径为

6

4

．…（8分）