Question

如图，抛物线y=ax²+4经过x轴上的一点A（-2，0），P是抛物线上的一动点，以P为圆心作⊙P；
（1）求a的值；
（2）是否存在一个⊙P与两坐标轴的正半轴都相切？若存在，请你求⊙P的半径；若不存在，请说明理由．
（3）若⊙P的半径为，当⊙P与直线y=x-5相切时，求P点的坐标．

Answer 1

解：（1）把A（-2，0）代入y=ax²+4得：
4a+4=0，
∴a=-1；

（2）根据a=-1，则y=-x²+4，
设P（x，-x²+4），利用⊙P与两坐标轴的正半轴都相切，
则x=-x²+4，
解得：x₁=，x₂=（不合题意舍去），
则当⊙P与两坐标轴的正半轴都相切时，
⊙P的半径为；

（3）如图，作PM∥y轴，交DE于M，作PN⊥DE于N，
易求直线y=x-5与两坐标轴的交点为E（0，-5），D（5，0）
所以∠PMD=∠OED=45°
∴，
若⊙P与直线y=x-5相切，则，
∴…
设P（x，-x²+4），则M（x，x-5）
①当P在M的上方时，PM=-x²+4-（x-5）=3，
解得：x=-3或2
∴P₁（-3，-5）P₂（2，0）
②当P在M的下方时，PM=x-5-（-x²+4）=3，
解得：x=-4或3…
∴（-4，-12）P₄（3，-5）．
分析：（1）根据抛物线y=ax²+4经过x轴上的一点A（-2，0），把A点代入y=ax²+4即可求出a的值；
（2）根据设P（x，-x²+4），利用⊙P与两坐标轴的正半轴都相切，则x=-x²+4求出即可，
（3）利用①当P在M的上方时，PM=-x²+4-（x-5）=3，②当P在M的下方时，PM=x-5-（-x²+4）=3，分别求出即可．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及直线与圆的位置关系等知识，利用在图象上点的坐标特点表示出线段长度是解题关键．