Question

如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D．若PA、PB的长是关于x的一元二次方程x²-mx+m-1=0的两个根，求△PCD的周长．

Answer 1

分析：由PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，根据切线长定理，可得PA=PB，又由PA、PB的长是关于x的一元二次方程x²-mx+m-1=0的两个根，根据根与系数的关系，可求得PA与PB的长，又由CD切⊙O于点E，即可得△PCD的周长等于PA+PB．

解答：解：∵PA、PB的长是关于x的一元二次方程x²-mx+m-1=0的两个根，
∴PA+PB=m，PA•PB=m-1，
∵PA、PB切⊙O于A、B两点，
∴PA=PB=

m

2

，
即

m

2

•

m

2

=m-1，
即m²-4m+4=0，
解得：m=2，
∴PA=PB=1，
∵PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，
∴AD=ED，BC=EC，
∴△PCD的周长为：PD+CD+PC=PD+DE+EC+PC=PD+AD+BC+PC=PA+PB=2．

点评：此题考查了切线长定理以及一元二次方程根与系数的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．