阅读下面的情景对话.然后解答问题:(1)①根据“奇异三角形的定义.小红得出命题:“等边三角形一定是奇异三角形 .请判断小红提出的命题是否正确.并填空是②若某三角形的三边长分别是2.4.$\sqrt{10}$.则△ABC是奇异三角形吗?是,(2)①若Rt△ABC是奇异三角形.且其两边长分别为2.2$\sqrt{2}$.则第三边的边长为2$\sqrt{3}$,且此直角� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

13．阅读下面的情景对话，然后解答问题：

（1）①根据“奇异三角形”的定义，小红得出命题：“等边三角形一定是奇异三角形”，请判断小红提出的命题是否正确，并填空是（填“正确”或“不正确”）
②若某三角形的三边长分别是2、4、$\sqrt{10}$，则△ABC是奇异三角形吗？是（填“是”或“不是”）；
（2）①若Rt△ABC是奇异三角形，且其两边长分别为2、2$\sqrt{2}$，则第三边的边长为2$\sqrt{3}$；且此直角三角形的三边之比为1：$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$（请按从小到大排列）
②在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c；
（3）如图，Rt△ABC中∠ACB=90°，以AB为斜边作等腰直角三角形ABD，点E是AC上方的一点，且满足AE=AD，CE=CB．
①求证：△ACE是奇异三角形；
②当△ACE是直角三角形时，求∠DBC的度数．

分析（1）根据“奇异三角形”的定义与等边三角形的性质，求证即可；
（2）①根据奇异三角形的性质，即可得到第三边的边长，进一步即可求解；
②根据勾股定理与奇异三角形的性质，可得a²+b²=c²与a²+c²=2b²，用a表示出b与c，即可求得答案；
（3）①AB是⊙O的直径，即可求得∠ACB=∠ADB=90°，然后利用勾股定理与圆的性质即可证得；
②利用（2）中的结论，分别从AC：AE：CE=1：$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$与AC：AE：CE=$\sqrt{3}$：$\sqrt{2}$：1去分析，即可求得结果．

解答解：（1）设等边三角形的一边为a，则a²+a²=2a²，
∴符合奇异三角形”的定义；
∵2²+4²=2×（$\sqrt{10}$）²，
∴符合奇异三角形”的定义．
故答案为：是，是；

（2）①∵2²+（2$\sqrt{3}$^）2=2×（2$\sqrt{2}$）²，
∴第三边的边长为2$\sqrt{3}$；
∴此直角三角形的三边之比为2：2$\sqrt{2}$：2$\sqrt{3}$=1：$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$；
②∵∠C=90°，
则a²+b²=c²①，
∵Rt△ABC是奇异三角形，且b＞a，
∴a²+c²=2b²②，
由①②得：b=$\sqrt{2}$a，c=$\sqrt{3}$a，
∴a：b：c=1：$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$．
故答案为：2$\sqrt{3}$，1：$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$；

（3）①∵以AB为斜边分别在AB的两侧作直角三角形，
利用直角三角形外接圆直径就是斜边，AD=BD，
∴AB是⊙O的直径，
∴AB²=AD²+BD²=2AD²，
∴AC²+CB²=2AD²，
又∵CB=CE，AE=AD，
∴AC²+CE²=2AE²，
∴△ACE是奇异三角形；
②由①可得△ACE是奇异三角形，
∴AC²+CE²=2AE²，
当△ACE是直角三角形时，
由（2）②得：AC：AE：CE=1：$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$或AC：AE：CE=$\sqrt{3}$：$\sqrt{2}$：1，
当AC：AE：CE=1：$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$时，AC：CE=1：$\sqrt{3}$，即AC：CB=1：$\sqrt{3}$，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=30°，
∵AD=BD，∠ADB=90°，
∴∠ABD=45°，
∴∠DBC=∠ABC+∠ABD=75°，
当AC：AE：CE=$\sqrt{3}$：$\sqrt{2}$：1时，AC：CE=$\sqrt{3}$：1，即AC：CB=$\sqrt{3}$：1，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=60°，
∵AD=BD，∠ADB=90°，
∴∠DBC=∠ABC+∠ABD=105°．

点评此题考查了新定义的知识，勾股定理以及圆的性质，三角函数等知识．解题的关键是理解题意，抓住数形结合思想的应用．

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