Question

如图，已知E是边长为4cm的正方形ABCD内一点，且DE=3，∠AED=90°，DF⊥DE于D，在射线DF上是否存在这样的M，使得以C、D、M为顶点的三角形与△ADE相似？若存在，请求出满足条件的DM长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：相似三角形对应角相等，对应边比值相等，故使得△CDM中有一个角为直角即可证明△CDM与△ADE相似，分两种情况①∠DMC=90°、②∠DCM′=90°讨论即可解题．

解答：解：∵∠1+∠2=90°∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∵∠AED=90°，
所以使得△CDM中有一个直角即可，
①∠DMC=90°，DM=DE=3cm，
②∠DCM′=90°，

DM′

DC

=

DA

DE

，DM′=

16

3

cm，
故存在M点，当DM=3cm或

16

3

cm时，△CDM与△ADE相似．

点评：本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，相似三角形对应角相等的性质，讨论∠DMC=90°或∠DCM′=90°是解题的关键．