Question

如图，△ABC的两条高AD、BE相交于H，且AD=BD，试说明下列结论成立的理由．
（1）∠DBH=∠DAC；
（2）BH=AC；
（3）如果BC=14，AH=2，AC=10，求HE的长度．

Answer 1

解：（1）∵AD，BE是△ABC的高
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠DBH+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°
∴∠DBH=∠DAC；

（2）由（1）题已得∠DBH=∠DAC，
∵在△BDH和△ADC中，
，
∴△BDH≌△ADC（ASA），
∴BH=AC；

（3）由（2）题已证△BDH≌△ADC，
∴HD=DC（设长度为x）
设AD=BD=y，
∵BC=14，AH=2，AC=10
∴x+y=14，y-x=2．
解得x=6，y=8，
∵×AC×BE=×BC×AD，
∴10×BE=14×8，
解得BE=11.2，
∴HE=BE-BH=11.2-10=1.2．
分析：（1）求出∠ADC=∠BEC=90°，根据三角形内角和定理得出∠DBH+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，即可求出答案；
（2）求出∠DBH=∠DAC，根据ASA证△BDH≌△ADC，根据全等三角形的性质推出即可；
（3）根据全等三角形性质得出HD=DC，设HD=DC=x，AD=BD=y，得出x+y=14，y-x=2．求出x、y的值，根据三角形面积公式得出×AC×BE=×BC×AD，代入求出BE，代入HE=BE-BH求出即可．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，三角形的面积等知识点的应用．