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    如图①，四边形AEFG和ABCD都是正方形，它们的边长分别为a，b（b≥2a），且点F在AD上（以下问题的结果均可用a，b的代数式表示）．
    （1）求S△DBF；
    （2）把正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的S△DBF；
    （3）把正方形AEFG绕点A旋转一周，在旋转的过程中，S△DBF是否存在最大值、最小值？精英家教网如果存在，直接写出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由．
    分析：（1）根据图形的关系，可得AF的长，根据三角形面积公式，可得△DBF的面积；
    （2）连接AF，由题意易知AF∥BD；△DBF与△ABD同底等高，故面积相等；
    （3）分析可得：当F点到BD的距离取得最大、最小值时，S△BFD取得最大、最小值；分两种情况讨论可得其最大最小值．
    解答：精英家教网解：（1）∵点F在AD上，
    ∴AF2=a2+a2，即AF=
    		2
    a，
    ∴DF=b-
    		2
    a，
    ∴S△DBF=
    1
    2
    DF×AB=
    1
    2
    ×（b-
    		2
    a）×b=
    1
    2
    b2-
    		2
    2
    ab；

    精英家教网（2）连接DF，AF，由题意易知AF∥BD，
    ∴四边形AFDB是梯形，
    ∴△DBF与△ABD等高同底，即BD为两三角形的底，
    由AF∥BD，得到平行线间的距离相等，即高相等，
    ∴S△DBF=S△ABD=
    1
    2
    b2；

    （3）正方形AEFG在绕A点旋转的过程中，F点的轨迹是以点A为圆心，AF为半径的圆，
    第一种情况：当b＞2a时，存在最大值及最小值，
    因为△BFD的边BD=
    		2
    b，故当F点到BD的距离取得最大、最小值时，S△BFD取得最大、最小值．
    如图②所示DF⊥BD时，S△BFD的最大值=S△BFD=
    1
    2
    		2
    b•（
    		2
    b
    2
    +
    		2
    a）=
    b2+2ab
    2
    ，
    S△BFD的最小值=S△BFD=
    1
    2
    		2
    b•（
    		2
    b
    2
    -
    		2
    a）=
    b2-2ab
    2
    ，
    第二种情况：当b=2a时，存在最大值，不存在最小值．
    ∴S△BFD的最大值=
    b2+2ab
    2
    ．（如果答案为4a2或b2也可）．
    点评：解答本题要充分利用正方形的特殊性质，注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率．
    练习册系列答案
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，平行四边形ABCD中，E是AB上一点，DE与AC交于点F，且S△AEF=6cm2，S△DCF=54cm2，则S平行四边形ABCD=
     
    cm2．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，在扇形AEF中，∠A=90°，点C为
    EF
    上任意一点（不与点E、F重合），四边形ABCD为矩形，则当点C在
    EF
    上运动时（不与E、F点重合），BD长度的变化情况是
     
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•宜宾）如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD=
    1
    2
    AB，点E、F分别为AB、AD的中点，则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为（　　）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•达州）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．
    原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．

    （1）思路梳理
    ∵AB=AD，
    ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
    ∵∠ADC=∠B=90°，
    ∴∠FDG=180°，点F、D、G共线．
    根据
    SAS
    SAS
    ，易证△AFG≌
    △AEF
    △AEF
    ，得EF=BE+DF．
    （2）类比引申
    如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系
    ∠B+∠D=180°
    ∠B+∠D=180°
    时，仍有EF=BE+DF．
    （3）联想拓展
    如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    阅读探究题：如图1，四边形ABCD是正方形（正方形的四边相等，四个角都是直角），点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交∠DCG的平分线CF于点F，

    （1）求出角∠ECF的度数？
    （2）求证：AE=EF．
    （3）如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为这样的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

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