Question

4．如图，矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，P 是边CD 上一点，将△ADP沿直线AP对折，得到△APQ．当射线BQ交线段CD于点F时，DF的最大值是（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． 4-$\sqrt{7}$
• D． 4-$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 过点A作AH⊥BF于点H，如图1所示：根据矩形的性质得到AB∥DC，由相似三角形的性质得到$\frac{BH}{AH}$=$\frac{CF}{BC}$，推出当点Q、H重合（即AH=AQ）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点P、F重合，B、Q、P三点共线，如图2所示：由折叠性质得：AD=AH，等量代换得到AH=BC，根据全等三角形的性质得到CF=BH，由勾股定理求得BH=$\sqrt{A{B}^{2}-A{H}^{2}}$=3，即可得到结论．

解答 解：过点A作AH⊥BF于点H，如图1所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，
∴∠HBA=∠BFC，
∵∠AHB=∠BCF=90°，
∴△ABH∽△BFC，
∴$\frac{BH}{AH}$=$\frac{CF}{BC}$，
∵AH≤AQ=3，AB=4，
∴当点Q、H重合（即AH=AQ）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，
此时点P、F重合，B、Q、P三点共线，如图2所示：
由折叠性质得：AD=AH，
∵AD=BC，
∴AH=BC，
在△ABH和△BFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HBA=∠BFC}\\{∠AHB=∠BCF}\\{AH=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△BFC（AAS），
∴CF=BH，
由勾股定理得：BH=$\sqrt{A{B}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴DF的最大值=DC-CF=4-$\sqrt{7}$．
故选C．

点评 本题考查了翻折变换-折叠，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．