Question

三只苍蝇沿△ABC的三边爬行，使由这三只苍蝇构成的三角形的与△ABC的重心保持不变，求证：如果某只苍蝇爬过了三角形的三条边，那么三只苍蝇构成的三角形的重心与原三角形的重心重合．

Answer 1

分析：根据题意画出图形，若一只苍蝇在顶点A，那么由三只苍蝇构成的三角形重心在△ADE中，其中DE：BC=2：3（P为三角形的重心），因其中有一只苍蝇到过所有的顶点，则苍蝇三角形的重心应在这三个三角形：△ADE，△BGF，△CKH内，这些三角形有唯一一个公共点P，且为三角形重心．命题得证．

解答：解：如图所示，
∵这三只苍蝇构成的三角形的与△ABC的重心保持不变，
∴若一只苍蝇在顶点A，则P为△ABC的内心，
∴DE：BC=2：3（P为三角形的重心），
∵其中有一只苍蝇到过所有的顶点，则苍蝇三角形的重心应在这三个三角形：△ADE，△BGF，△CKH内，
∵这些三角形有唯一一个公共点P，且为三角形重心，
∴三只苍蝇构成的三角形的重心与原三角形的重心重合．

点评：本题考查的是三角形重心的性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．