Question

29、阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）²
=（1+x）[1+x+x（x+1）]
=（1+x）²（1+x）
=（1+x）³
（1）上述分解因式的方法是

提公因式法

，共应用了

2

次．
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）²⁰⁰⁴，则需应用上述方法

2004

次，结果是

（1+x）²⁰⁰⁵

．
（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）ⁿ（n为正整数）．

Answer 1

分析：此题由特殊推广到一般，要善于观察思考，注意结果和指数之间的关系．

解答：解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次．

（2）需应用上述方法2004次，结果是（1+x）²⁰⁰⁵．

（3）解：原式=（1+x）[1+x+x（x+1）]+x（x+1）²+…+x（x+1）ⁿ，
=（1+x）²（1+x）+x（x+1）²+…+x（x+1）ⁿ，
=（1+x）³+x（x+1）³+…+x（x+1）ⁿ，
=（x+1）ⁿ+x（x+1）ⁿ，
=（x+1）ⁿ⁺¹．

点评：本题考查了提公因式法分解因式的推广，要认真观察已知所给的过程，弄清每一步的理由，就可进一步推广．