Question

对于给定的抛物线y=x²+ax+b，使实数p、q适合于ap=2（b+q）
（1）证明：抛物线y=x²+px+q通过定点；
（2）证明：下列两个二次方程，x²+ax+b=0与x²+px+q=0中至少有一个方程有实数解．

Answer 1

分析：（1）由已知求得q=

ap

2

-b，代入抛物线y=x²+px+q，得y=x²+px+

ap

2

-b，将抛物线y=x²+ax+b的顶点横坐标x=-

a

2

代入可求y的值，确定结果为顶点纵坐标即可；
（2）方程x²+ax+b=0与x²+px+q=0的判别式分别为a²-4b，p²-4q，由2q=ap-2b可得出两个判别式的和为非负数，可知其中至少有一个判别式为非负数，故至少有一个方程有实数解．

解答：证明：（1）由ap=2（b+q），得q=

ap

2

-b，代入抛物线y=x²+px+q，
得：-y+x²-b+p（x+

a

2

）=0，
得

x+ a 2 =0 -y+x2-b=0

，
解得：

x=- a 2 y= a2-4b 4

，
故抛物线y=x²+px+q通过定点（-

a

2

，

a2-4b

4

）．

（2）由2q=ap-2b得p²-4q=p²-2•2q=p²-2（ap-2b）=（p-a）²-（a²-4b），
∴（p²-4q）+（a²-4b）=（p-a）²≥0，
∴p²-4q，a²-4b中至少有一个非负，
∴x²+ax+b=0与x²+px+q=0中至少有一个方程有实数解．

点评：本题考查了抛物线上的点及顶点的坐标特点，判别式判断一元二次方程解的运用，明确两个数的和为非负数时，其中至少有一个数为非负数．