Question

12．已知，如图甲，⊙O的直径为2，点M是正方形ABCD的边BC的中点，点P是线段MC上的一个动点（P不与M，C重合），过点P作⊙O的切线交AD于点F，切点为E．
（1）求四边形CDFP的周长；
（2）当P在线段MC上运动时求出AF•BP的值；
（3）延长DC，FP相交于点G，连接OE并延长交直线DC于H（如图乙），是否存在点P，使△AFO∽△EHG？如果存在，试求此时的FG的长；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先判断AD和BC为⊙O的切线，再根据切线长定理得到FA=FE，PE=PB，然后利用等线段代换可得到四边形CDFP的周长=CD+DA+BC=6；
（2）如图甲，作FH⊥BC于H，则FH=AB=2，设AF=x，PB=y，则EF=x，PE=y，PF=x+y，PH=y-x，然后在Rt△PFH中利用勾股定理得到2²+（y-x）²=（x+y）²，再变形得到AF•BP的值；
（3）如图乙，利用切线的性质得∠HDF=∠HEF=90°，则利用四边形的内角和得到∠GHE=∠DFE，若△AFO∽△EHG则∠AFO=∠EHG，再利用切线长定理得到∠AFO=∠EFO，所以∠DFE=∠AFO=∠EFO=60°，
在Rt△AOF中利用含30度的直角三角形三边的关系得到AF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，则利用AF•BP=1得到BP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以DF=DA-AF=2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，然后在Rt△GDF中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出GF．

解答 解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠B=90°，
而AB为直径，
∴AD和BC为⊙O的切线，
∵PF切⊙O于E，
∴FA=FE，PE=PB，
∴四边形CDFP的周长=CD+DF+PF+CP=CD+DF+EF+PE+PC=CD+DF+FA+PB+CP=CD+DA+BC=2+2+2=6；
（2）如图甲，作FH⊥BC于H，易得四边形ABHF为矩形，
∴FH=AB=2，
设AF=x，PB=y，则EF=x，PE=y，
∴PF=x+y，PH=y-x，
在Rt△PFH中，∵FH²+PH²=PF²，
∴2²+（y-x）²=（x+y）²，
∴xy=1，
即AF•BP的值为1；
（3）如图乙，
∵∠HDF=∠HEF=90°，
∴∠GHE=∠DFE，
∵△AFO∽△EHG，
∴∠AFO=∠EHG，
∴∠AFO=∠DFE，
∵∠AFO=∠EFO，
∴∠DFE=∠AFO=∠EFO=60°，
在Rt△AOF中，∵∠AFO=60°，
∴AF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∵AF•BP=1，
∴BP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵DF=DA-AF=2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
在Rt△GDF中，∵∠DFG=60°，
∴GF=2DF=4-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的判定方法和切线长定理；学会利用勾股定理和相似比计算线段的长；记住含30度的直角三角形三边的关系．