Question

16．如图，点E为矩形ABCD的边BC的中点，以DE为直径的⊙O交AD于H点，过点H作HF⊥AE于点F．
（1）求证：HF是⊙O的切线；
（2）若DH=3，AF=2，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接半径OH，证明HF⊥OH即可；
（2）连接EH，证明四边形HECD是矩形，则CE=DH，同理：BE=AH，再证明△FHA∽△BAE，列比例式为：$\frac{AH}{AE}=\frac{AF}{EB}$，求AE的长，由（1）知：DE=AE，且DE是直径，由此可得半径的长．

解答 证明：（1）连接OH，
∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=BA，∠C=∠B=90°，
∵E是BC的中点，
∴CE=BE，
∴△CDE≌△BAE（SAS），
∴ED=EA，
∴∠EDA=∠EAD，
∵OD=OH，
∴∠EDA=∠OHD，
∴∠EAD=∠OHD，
∴OH∥AE，
∵HF⊥AE，
∴HF⊥OH，
∵点H为⊙O上，OH为⊙O的半径，
∴HF是⊙O的切线；
（2）连接EH，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠DHE=90°，
∵∠C=∠B=90°，
∴四边形HECD是矩形，
∴CE=DH，
同理：BE=AH，
∵CE=BE，
∴DH=AH=3，
∵CB∥AD，
∴∠BEA=∠EAD，
∵∠HFA=∠B=90°，
∴△FHA∽△BAE，
∴$\frac{AH}{AE}=\frac{AF}{EB}$，
∴$\frac{3}{AE}=\frac{2}{3}$，
∴AE=$\frac{9}{2}$，
∴OD=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{2}$=$\frac{9}{4}$，
∴⊙O的半径为$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了切线的判定和矩形的性质和判定、三角形相似、全等的性质和判定，再证明切线时，常连接半径证垂直；第二问通过作辅助线构建矩形并利用三角形相似，列等量关系求线段的长，从而使问题得以解决．