Question

如图，直线AB分别x，y轴正半轴相交于A（a，0）和B（0，b），直线y=

1

2

x+3交于y轴与点E，交AB于点F
（1）当a=6，b=6时，求四边形EOAF的面积
（2）若F为线段AB的中点，且AB=4

5

时，求证：∠BEF=∠BAO．

Answer 1

分析：（1）小题先求出直线AB的解析式，再求出与直线EF的交点F的坐标（2，4），利用面积公式计算即可．（2）小题利用三角形的中位线性质和勾股定理求出a b的值，连接AE，证出AE=BE，进而得到EF⊥AB，利用角之间的关系即可出答案．

解答：（1）解：y=

1

2

x+3，
当x=0时，y=3，
∴E（0，3），
设直线AB的解析式是y=kx+b，
把A（6，0），B（0，6）代入y=kx+b得：

0=6k+b 6=b

，
解得：

k=-1 b=6

∴直线AB的函数关系式是y=-x+6
直线EFy=

1

2

x+3和直线AB交于点F，方程组

y= 1 2 x+3 y=-x+6

的解是

x=2 y=4

，
∴F（2，4），
S_{四边形EOAF}=S_△OAB-S_△EFB，
=

1

2

×6×6-

1

2

×（6-3）×2，
=15．
所以四边形EOAF的面积是15．

（2）解：∵F为线段AB的中点，由三角形中位线定理得F（

1

2

a，

1

2

b），
又∵F在直线EF：y=

1

2

x+3上，
∴

1

2

×

1

2

a+3=

1

2

b，
a=2b-12 ①
又∵AB=4

5

∴a²+b²=(4

5

)2，
∴（2b-12）²+b²=80，
整理得：5b²-48b+64=0，
解得b₁=

8

5

，b₂=8，
当b=

8

5

时，a＜0，不合题意，∴b=

8

5

（舍去），
当b=8时，a=4
∴A（4，0）B（0，8），
∴OE=3，BE=5
连接EA，在RT△OAE中，OE=3，OA=4，
∴EA=5
∴EA=BE=5
∴△BEA是等腰三角形，
又∵F为线段AB的中点
∴EF⊥AB，
∴∠BEF=90°-∠EBF，
∠BAO=90°-∠OBA，
∵∠EBF=∠OBA
∴∠BEF=∠BAO．

点评：解本题的关键是能灵活运用一次函数的性质，能根据点的坐标求解析式，或利用解析式求特殊点的坐标，进一步求出线段长，再根据求出条件证明几何问题，