Question

如图，在矩形ABCD中，AD=8，点E是AB边上的一点，AE=2．过D，E两点作直线PQ，与BC边所在的直线MN相交于点F．
（1）求tan∠ADE的值；
（2）点G是线段AD上的一个动点，GH⊥DE，垂足为H．设DG为x，四边形AEHG的面积为y，试写出y与x之间的函数关系式；
（3）如果AE=2EB，点O是直线MN上的一个动点，以O为圆心作圆，使⊙O与直线PQ相切，同时又与矩形ABCD的某一边相切．问满足条件的⊙O有几个？并求出其中一个圆的半径．

Answer 1

【答案】分析：（1）在Rt△ADE中，已知AD，AE的长，根据三角函数tan∠ADE=，代入数据进行求解即可；
（2）根据y=S_△AED-S_△DGH，S_△AED=AD•AE，S_△DGH=DG•DH•sin∠ADE，故应求sin∠ADE和DH的值；
在Rt△ADE中，根据勾股定理可将DE的值求出，又知AE的长，故可将sin∠ADH的值求出；
在Rt△DGH中，根据三角函数可将DH的值求出，故将各数据代入进行求解可写出y与x之间的函数关系式；
（3）满足条件的⊙O有4个：⊙O在AB的左侧与AB相切；⊙O在AB的右侧与AB相切；⊙O在CD的左侧与CD相切；⊙O在CD的右侧与CD相切．⊙O在AB的左侧与AB相切为例：作辅助线，过点O作OI⊥FP，垂足为I．根据AD∥FN，得：△AED∽△BEF，可知sin∠PFN，FB的值，在Rt△FOI中，根据sin∠PFN=，可将⊙O的半径求出，其他情况同理可求解半径r．
解答：解：（1）∵矩形ABCD中，∠A=90°，AD=8，AE=2，
∴tan∠ADE===．

（2）∵DE===6，
∴sin∠ADE===，cos∠ADE===．
在Rt△DGH中，
∵GD=x，
∴DH=DG•cos∠ADE=x，
∴S_△DGH=DG•DH•sin∠ADE=•x•x•=x²．
∵S_△AED=AD•AE=×8×2=8，
∴y=S_△AED-S_△DGH=8-x²，
即y与x之间的函数关系式是y=-x²+8．

（3）满足条件的⊙O有4个．
以⊙O在AB的左侧与AB相切为例，求⊙O半径如下：
∵AD∥FN，
∴△AED∽△BEF．
∴∠PFN=∠ADE．
∴sin∠PFN=sin∠ADE=．
∵AE=2BE，
∴△AED与△BEF的相似比为2：1，
∴=，FB=4．
过点O作OI⊥FP，垂足为I，设⊙O的半径为r，那么FO=4-r．
∵sin∠PFN===，
∴r=1．
（满足条件的⊙O还有：⊙O在AB的右侧与AB相切，这时r=2；⊙O在CD的左侧与CD相切，这时r=3；⊙O在CD的右侧与CD相切，这时r=6）
点评：本题综合考查了直线与圆的位置关系，解直角三角形，二次函数的应用，三角形相似等多个知识点．