Question

【题目】如图，E，F是正方形ABCD外接圆上的两个点，且EC∥BF，AD与BF的延长线交于点P．

（1）求∠EBF的度数；

（2）求证：BPBE=AB2．

Answer 1

【答案】（1）45°（2）证明见解析

【解析】

（1）根据已知条件得到弧CAB的度数=270°，由圆周角定理得到根据平行线的性质证得∠E+∠EBF=180°，可得到∠EBF=45°；

（2）连接BD，根据正方形的性质得到∠ADB=45°，，AP∥BC，AB=BC，根据邻补角的定义得到∠PDB=135°，根据平行线的性质得到∠P=∠PBC=∠ECB，推出△PBD∽△BCE，根据相似三角形的性质得到等量代换即可得到结论．

（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴弧CAB的度数=270°，

∴

∵EC∥BP，

∴∠E+∠EBF=180°，

∴∠EBF=45°；

（2）连接BD，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADB=45°，，AP∥BC，AB=BC，

∴∠PDB=135°，

∴∠PDB=∠E，

∵AP∥BC，CE∥PB，

∴∠P=∠PBC=∠ECB，

∴△PBD∽△BCE，

∴

∴

∴