Question

如图1，AD是圆O的直径，BC切圆O于点D，AB、AC与圆O相交于点E、F．

（1）求证：AE•AB=AF•AC；
（2）如果将图1中的直线BC向上平移与圆O相交得图2，或向下平移得图3，此时，AE•AB=AF•AC是否仍成立？若成立，请证明，若不成立，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）可通过构建相似三角形来求证．连接DE、DF，通过证三角形AED、ADB和三角形AFD、ADC相似，得出AE、AB以及AF、AC和AD之间的关系，通过AD这个中间值来得出所求的比例关系．
（2）依然成立，因为这要能证得（1）中的两个三角形相似，就能得出（1）中的结论，BC上上平移的过程中，两个三角形相似的条件（一个公共角，一组直角）没有改变，因此仍相似，所以（1）中的结论仍成立．
解答：（1）证明：如图1，连接DE．
∵AD是圆O的直径，
∴∠AED=90°．
又∵BC切圆O于点D，
∴AD⊥BC，∠ADB=90°．
在Rt△AED和Rt△ADB中，∠EAD=∠DAB，
∴Rt△AED∽Rt△ADB．
∴，即AE•AB=AD²
同理连接DF，可证Rt△AFD∽Rt△ADC，AF•AC=AD²
∴AE•AB=AF•AC．

（2）解：AE•AB=AF•AC仍然成立．
证明：如图2，连接DE，因为BC在上下平移时始终与AD垂直，设垂足为D'，则∠AD′B=90°
∵AD是圆O的直径，
∴∠AED=90°
又∵∠D′AB=∠EAD，∠AED=∠AD′B，
∴Rt△AD′B∽Rt△AED
∴
AE•AB=AD′•AD
同理AF•AC=AD′•AD
∴AE•AB=AF•AC
同理可证，当直线BC向下平移与圆O相离如图3时，AE•AB=AF•AC仍然成立．
点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，通过构建相似三角形得出与所求相关的线段间的比例是解题的关键．