Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知矩形中的点，抛物线经过原点和点，并且有最低点点，分别在线段，上，且，，直线的解析式为，其图像与抛物线在轴下方的图像交于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当时，求的取值范围；

（3）在线段上是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）设抛物线的解析式为：，根据待定系数法，即可得到答案；

（2）根据抛物线的对称性，得，从而得，进而得，过点作，与交于点，求出点H的坐标，进而得：直线的解析式为，然后求出直线，联立一次函数与二次函数解析式，可得点D的坐标，进而即可得到答案；

（3）先证点，，，四点共圆，可得，作的垂直平分线交直线于点，连接，则，，作的垂直平分线交直线于点，则，，此时，进而可求出点M的坐标．

（1）设抛物线的解析式为：，

由题意可得：，，且抛物线经过原点，

，解得，

抛物线的解析式为：；

（2）由（1）可知抛物线的对称轴为：直线，点与点关于直线对称，

，．

，，

，，

，

．

过点作，与交于点，如图1，

，

，即：，

设直线的解析式为：，

，

，

直线的解析式为：，

∵当时，求得，

，

∵

直线，

∵，解得：，（舍去），，

∵当时，从图像可得：直线在抛物线的上方且都在轴的下方才满足条件，

∴的取值范围为：；

（3），，，

，，，

，

，

∵四边形是矩形，

∴，

，

点，，，四点共圆，

，

作的垂直平分线交直线于点，连接，则，，如图2，

，

设，则，解得，

作的垂直平分线交直线于点，则，，如图2，

∵，

∴，，

，解得：，

，

综上所述，点的坐标为．

图1 图2