Question

10．如图，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）与斜边OA交于点C，与另一直角边交于点D，若OC：CA=1：2，且S_△OCD=8，求k的值．

Answer 1

分析 过点C作CE⊥x轴于点E，作CF⊥y轴于点F，由“CE⊥x轴，AB⊥OB”可得出△OCE∽△OAB，即找出$\frac{OE}{OB}=\frac{OC}{OA}$，再结合OC：CA=1：2即可得出OB=3OE，设点C的坐标为（n，$\frac{k}{n}$）（n＞0），即可找出点B、D、E的坐标，通过分割三角形以及反比例函数系数k的几何意义即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论．

解答 解：过点C作CE⊥x轴于点E，作CF⊥y轴于点F，如图所示．

∵CE⊥x轴，AB⊥OB，
∴CE∥AB，
∴△OCE∽△OAB，
∴$\frac{OE}{OB}=\frac{OC}{OA}$．
∵OC：CA=1：2，
∴$\frac{OE}{OB}=\frac{OC}{OC+CA}=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}$．
∵双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象在第一象限，
∴k＞0．
设点C的坐标为（n，$\frac{k}{n}$）（n＞0），则点D的坐标为（3n，$\frac{k}{3n}$），
点B的坐标为（3n，0），点E的坐标为（n，0）．
S_△OCD=S_矩形OECF+S_梯形EBDC-S_△OCF-S_△OBD，
=|k|+$\frac{1}{2}$（BD+CE）•BE-$\frac{1}{2}$|k|-$\frac{1}{2}$|k|，
=$\frac{1}{2}$（$\frac{k}{n}$+$\frac{k}{3n}$）•（3n-n），
=$\frac{4}{3}$k=8，
解得：k=6．

点评 本题考查了反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的判定及性质、三角形的面积公式以及矩形的面积公式，解题的关键是找出关于k的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，通过分割图形求△OCD的面积，以此找出关于k的方程是关键．