Question

在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，直线EF过点O，分别交AD、BC于E、F，如图①
（1）求证：AE=CF；
（2）将图①中?ABCD沿直线EF折叠，使得点A落在A₁处，点B落在B₁处，如图②设FB₁交CD于点G，A₁B₁分别交CD、DE于点P、Q，求证：EQ=FG．

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，OA=OC，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE=CF，

（2）由折叠的性质可得：AE=A₁E，
∵AE=CF，
∴A₁E=CF，
又∵∠A₁=∠A=∠C，∠B₁=∠B=∠D，
∴∠EQA₁=∠DQP=180°-∠D-∠DPQ=180°-∠B₁-∠DPQ=∠B₁GP=∠FGC，
在△EQA₁和△FGC中，
，
∴△EQA₁≌△FGC（AAS），
∴EQ=FG．
分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，易证得△AOE≌△COF，则可得AE=CF；
（2）由折叠的性质，易证得△EQA₁≌△FGC，则可得EQ=FG．
点评：此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．